Câu hỏi:

19/08/2025 452

Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN. Chứng minh:

a) OM song song O'N;

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO' lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Xét ∆MAN vuông tại A có: $\hat{A M N} + \hat{A N M}$ = 90° (1)

Và $\hat{M A O} + \hat{N A O'}$ = 90° = 180° − $\hat{M A O}$ = 180° − 90° = 90° (2)

Lại có: ∆OMA cân tại O (OA = OM = R) ⇒ $\hat{O A M} = \hat{O M A}$ (3)

∆O’NA cân tại O (O’A = O’N = R’) ⇒ $\hat{O' A N} = \hat{O' N A}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: $\hat{O M N} + \hat{M N O'} = (\hat{O M A} + \hat{A M N}) + (\hat{A N M} + \hat{O' N A})$

= $\hat{O M A} + \hat{A M N} + \hat{A N M} + \hat{O' N A}$

= $\hat{O M A} + \hat{A M N} + \hat{A N M} + \hat{O' A N}$

= $(\hat{O M A} + \hat{O' A N}) + (\hat{A M N} + \hat{A N M})$

= 90° + 90° = 180°

Tứ giác OMNO’ có $\hat{O M N} + \hat{M N O'} = 180 °$ nên MN // O’N.

b) Từ O’ kẻ O’H ⊥ OM. Khi đó: $S_{O M N O'} = \frac{(O' N + O M) . O' H}{2} = \frac{(R' + R) . O' H}{2} \leq \frac{(R' + R) . O' O}{2} = \frac{{(R' + R)}^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O’H = O’O hay H ≡ O ⇒ O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N

Vậy tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất là $\frac{{(R' + R)}^{2}}{2}$ khi O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3