Cho (O; R) và (O; R') tiếp xúc ngoài tại A. Kẻ dây cung AM của (O) và dây cung AN của (O') sao cho AM vuông góc với AN. Chứng minh:

a) OM song song O'N;

b) Xác định vị trí của AM và AN để diện tích tứ giác OMNO' lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Xét ∆MAN vuông tại A có: $\hat{A M N} + \hat{A N M}$ = 90° (1)

Và $\hat{M A O} + \hat{N A O'}$ = 90° = 180° − $\hat{M A O}$ = 180° − 90° = 90° (2)

Lại có: ∆OMA cân tại O (OA = OM = R) ⇒ $\hat{O A M} = \hat{O M A}$ (3)

∆O’NA cân tại O (O’A = O’N = R’) ⇒ $\hat{O' A N} = \hat{O' N A}$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra: $\hat{O M N} + \hat{M N O'} = (\hat{O M A} + \hat{A M N}) + (\hat{A N M} + \hat{O' N A})$

= $\hat{O M A} + \hat{A M N} + \hat{A N M} + \hat{O' N A}$

= $\hat{O M A} + \hat{A M N} + \hat{A N M} + \hat{O' A N}$

= $(\hat{O M A} + \hat{O' A N}) + (\hat{A M N} + \hat{A N M})$

= 90° + 90° = 180°

Tứ giác OMNO’ có $\hat{O M N} + \hat{M N O'} = 180 °$ nên MN // O’N.

b) Từ O’ kẻ O’H ⊥ OM. Khi đó: $S_{O M N O'} = \frac{(O' N + O M) . O' H}{2} = \frac{(R' + R) . O' H}{2} \leq \frac{(R' + R) . O' O}{2} = \frac{{(R' + R)}^{2}}{2}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi O’H = O’O hay H ≡ O ⇒ O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N

Vậy tứ giác MNO’O có diện tích lớn nhất là $\frac{{(R' + R)}^{2}}{2}$ khi O’O ⊥ MO hoặc O’O ⊥ O’N.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3