Câu hỏi:
13/07/2024 6,945
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).
a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh ;
c) Chứng minh MI.MK = MP2;
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).
a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh ;
c) Chứng minh MI.MK = MP2;
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét tứ giác AIMK có:
= 90° (MI ⊥ AB); = 90° (MK ⊥ AC)
⇒ = 90° + 90° = 180°
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác AIMK nội tiếp
Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A
⇒ OB ⊥ AB; OC ⊥ AC ⇒ = 90°
Xét tứ giác ABOC có:
= 90° + 90° = 180°
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp
b) Xét tứ giác MPCK có:
= 90° (MP ⊥ BC); = 90° (MK ⊥ AC)
⇒ = 90° + 90° = 180°
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác MPCK nội tiếp
⇒ (cùng nhìn cạnh MK)
Xét (O) có: là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MC
là góc nội tiếp chắn cung MC
⇒
Mà ⇒
c) Xét tứ giác MIBP có:
= 90° (MI ⊥ AB) ; = 90°(MP⊥BC)
⇒ = 90° + 90° = 180°
mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒Ttứ giác MIBP nội tiếp
⇒ (cùng nhìn cạnh MI)
(cùng nhìn cạnh MP) hay
mà ⇒
Xét (O) có: là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BM
là góc nội tiếp chắn cung BM
⇒
mà ⇒ hay
Tứ giác MPCK nội tiếp ⇒
⇒
Xét ΔMIP và ΔMPK có:
⇒ ΔMIP ~ ΔMPK (g.g)
⇒ MI.MP = MP.MK ⇒ MI.MK = MP2
d) Vì MI.MK = MP2 nên MI.MK.MP = MP3
Tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi MP lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của O trên BC
⇒ OH cố định (Vì O cố định; BC cố định)
Gọi D là giao điểm của MO và BC
Ta có: MP ≤ MD; OH ≤ OD
MP + OH ≤ MD + OD = MO ⇒ MP + OH ≤ R
⇒MP ≤ R−OH ⇒ MP3 ≤ (R − OH)3
Dấu "=" xảy ra khi MP = R − OH
⇒ O, H, Mthẳng hàng
⇒ M nằm chính giữa cung nhỏ BC
Vậy tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay
Sách thầy cô Vietjack biên soạn:
Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới)
Đã bán 1,5k
₫ 70.000
₫ 36.000
Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)
Đã bán 1,1k
₫ 70.000
₫ 36.000
Bình luận
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.
b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.
Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.
a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.
b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.
Xem đáp án »
13/07/2024
31,483
Câu 3:
Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.
Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.
Xem đáp án »
13/07/2024
30,224
Câu 4:
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Xem đáp án »
13/07/2024
26,622
Câu 5:
Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.
Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.
Xem đáp án »
13/07/2024
26,240
Câu 7:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 9cm, AC = 12cm. Tính BC, AH, HB, HC, diện tích tam giác ABC.
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 9cm, AC = 12cm. Tính BC, AH, HB, HC, diện tích tam giác ABC.
Xem đáp án »
13/07/2024
20,950
🔥 Đề thi HOT:
-
5920 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 có đáp án (Phần 1)
-
135 câu Bài tập Hình học mặt nón, mặt trụ, mặt cầu cực hay có lời giải (P1)
-
80 câu Trắc nghiệm Tích phân có đáp án (Phần 1)
-
56 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2: Lôgarit có đáp án
-
79 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 2 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
-
15 câu Trắc nghiệm Số phức có đáp án (Vận dụng)
-
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án ( Phần 1)
-
87 câu Chuyên đề Toán 12 Bài 3 Dạng 1: Xác định vectơ pháp tuyến và viết phương trình mặt phẳng có đáp án
Hãy Đăng nhập hoặc Tạo tài khoản để gửi bình luận
-
-
Bình luận