Câu hỏi:
13/07/2024 3,350
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).
a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh ;
c) Chứng minh MI.MK = MP2;
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).
a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;
b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh ;
c) Chứng minh MI.MK = MP2;
d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Xét tứ giác AIMK có:
= 90° (MI ⊥ AB); = 90° (MK ⊥ AC)
⇒ = 90° + 90° = 180°
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác AIMK nội tiếp
Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A
⇒ OB ⊥ AB; OC ⊥ AC ⇒ = 90°
Xét tứ giác ABOC có:
= 90° + 90° = 180°
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp
b) Xét tứ giác MPCK có:
= 90° (MP ⊥ BC); = 90° (MK ⊥ AC)
⇒ = 90° + 90° = 180°
Mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒ Tứ giác MPCK nội tiếp
⇒ (cùng nhìn cạnh MK)
Xét (O) có: là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MC
là góc nội tiếp chắn cung MC
⇒
Mà ⇒
c) Xét tứ giác MIBP có:
= 90° (MI ⊥ AB) ; = 90°(MP⊥BC)
⇒ = 90° + 90° = 180°
mà 2 góc ở vị trí đối nhau
⇒Ttứ giác MIBP nội tiếp
⇒ (cùng nhìn cạnh MI)
(cùng nhìn cạnh MP) hay
mà ⇒
Xét (O) có: là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BM
là góc nội tiếp chắn cung BM
⇒
mà ⇒ hay
Tứ giác MPCK nội tiếp ⇒
⇒
Xét ΔMIP và ΔMPK có:
⇒ ΔMIP ~ ΔMPK (g.g)
⇒ MI.MP = MP.MK ⇒ MI.MK = MP2
d) Vì MI.MK = MP2 nên MI.MK.MP = MP3
Tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi MP lớn nhất
Gọi H là hình chiếu của O trên BC
⇒ OH cố định (Vì O cố định; BC cố định)
Gọi D là giao điểm của MO và BC
Ta có: MP ≤ MD; OH ≤ OD
MP + OH ≤ MD + OD = MO ⇒ MP + OH ≤ R
⇒MP ≤ R−OH ⇒ MP3 ≤ (R − OH)3
Dấu "=" xảy ra khi MP = R − OH
⇒ O, H, Mthẳng hàng
⇒ M nằm chính giữa cung nhỏ BC
Vậy tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Xem đáp án »
13/07/2024
22,502
Câu 3:
Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.
Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.
Xem đáp án »
13/07/2024
21,787
Câu 5:
Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.
Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.
Xem đáp án »
13/07/2024
16,172
Câu 7:
Hai đoạn ống nước có chiều dài lần lượt là 0,8 m và 1,35 m. Người ta nối hai đầu ống để tạo thành một ống nước mới. Chiều dài của phần nối chung là Hỏi đoạn ống nước mới dài bao nhiêu mét?
Xem đáp án »
13/07/2024
8,765
về câu hỏi!