Câu hỏi:

13/07/2024 6,442

Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm). Trên cung nhỏ BC lấy một điểm M bất kỳ, vẽ MI vuông góc với AB, MK vuông góc với AC (I thuộc AB, K thuộc AC).

a) Chứng minh AIMK, ABOC là các tứ giác nội tiếp;

b) Vẽ MP vuông góc với BC (P thuộc BC). Chứng minh ;

c) Chứng minh MI.MK = MP²;

d) Xác định vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Xét tứ giác AIMK có:

$\hat{A I M}$ = 90° (MI ⊥ AB); $\hat{A K M}$ = 90° (MK ⊥ AC)

⇒ $\hat{A I M} + \hat{A K M}$ = 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác AIMK nội tiếp

Xét (O) có AB, AC là hai tiếp tuyến cắt nhau tại A

⇒ OB ⊥ AB; OC ⊥ AC ⇒ $\hat{A B O} = \hat{A C O}$ = 90°

Xét tứ giác ABOC có:

$\hat{A B O} + \hat{A C O}$ = 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác ABOC nội tiếp

b) Xét tứ giác MPCK có:

$\hat{M P C}$ = 90° (MP ⊥ BC); $\hat{M K C}$ = 90° (MK ⊥ AC)

⇒ $\hat{M P C} + \hat{M K C}$ = 90° + 90° = 180°

Mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒ Tứ giác MPCK nội tiếp

⇒ $\hat{M P K} = \hat{M C K}$ (cùng nhìn cạnh MK)

Xét (O) có: $\hat{M C K}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung MC

$\hat{M B C}$ là góc nội tiếp chắn cung MC

⇒ $\hat{M C K} = \hat{M B C}$

Mà $\hat{M P K} = \hat{M C K}$ ⇒ $\hat{M P K} = \hat{M B C}$

c) Xét tứ giác MIBP có:

$\hat{M I B}$ = 90° (MI ⊥ AB) ; $\hat{M P B}$ = 90°(MP⊥BC)

⇒ $\hat{M I B} + \hat{M P B}$ = 90° + 90° = 180°

mà 2 góc ở vị trí đối nhau

⇒Ttứ giác MIBP nội tiếp

⇒ $\hat{I B M} = \hat{I P M}$ (cùng nhìn cạnh MI)

$\hat{M I P} = \hat{M B P}$ (cùng nhìn cạnh MP) hay $\hat{M B C} = \hat{M I P}$

mà $\hat{M P K} = \hat{M B C}$ ⇒ $\hat{M P K} = \hat{M I P}$

Xét (O) có: $\hat{I B M}$ là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung BM

$\hat{M C B}$ là góc nội tiếp chắn cung BM

⇒ $\hat{I B M} = \hat{M C B}$

mà $\hat{I B M} = \hat{I P M}$ ⇒ $\hat{M C B} = \hat{I P M}$ hay $\hat{M C P} = \hat{I P M}$

Tứ giác MPCK nội tiếp ⇒ $\hat{M C P} = \hat{M K P}$

⇒ $\hat{I P M} = \hat{M K P}$

Xét ΔMIP và ΔMPK có:

$\hat{I P M} = \hat{M K P}$

$\hat{M I P} = \hat{M P K}$

⇒ ΔMIP ~ ΔMPK (g.g)

⇒ MI.MP = MP.MK ⇒ MI.MK = MP²

d) Vì MI.MK = MP² nên MI.MK.MP = MP³

Tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi MP lớn nhất

Gọi H là hình chiếu của O trên BC

⇒ OH cố định (Vì O cố định; BC cố định)

Gọi D là giao điểm của MO và BC

Ta có: MP ≤ MD; OH ≤ OD

MP + OH ≤ MD + OD = MO ⇒ MP + OH ≤ R

⇒MP ≤ R−OH ⇒ MP³ ≤ (R − OH)³

Dấu "=" xảy ra khi MP = R − OH

⇒ O, H, Mthẳng hàng

⇒ M nằm chính giữa cung nhỏ BC

Vậy tích MI.MK.MP đạt giá trị lớn nhất khi M nằm chính giữa cung nhỏ BC.

Sách thầy cô Vietjack biên soạn

Xem thêm »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án » 13/07/2024 78,408

Câu 2:

Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.

Xem đáp án » 13/07/2024 29,306

Câu 3:

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án » 13/07/2024 28,488

Câu 4:

Cho tam giác ABC thỏa mãn $s i n A = \frac{s i n B + s i n C}{c o s B + c o s C}$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Xem đáp án » 13/07/2024 26,332

Câu 5:

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v₁ = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v₂= 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.

Xem đáp án » 13/07/2024 26,120

Câu 6:

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6.

Xem đáp án » 13/07/2024 22,601

Câu 7:

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 9cm, AC = 12cm. Tính BC, AH, HB, HC, diện tích tam giác ABC.

Xem đáp án » 13/07/2024 19,866

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Bình luận

Cho sin α = 13, với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.

Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA=sinB+sinCcosB+cosC . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6.

Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết AB = 9cm, AC = 12cm. Tính BC, AH, HB, HC, diện tích tam giác ABC.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Cho tam giác ABC thỏa mãn $s i n A = \frac{s i n B + s i n C}{c o s B + c o s C}$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v₁ = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v₂= 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.