Câu hỏi:

13/07/2024 2,176

Cho tam giác ABC có các trung tuyến BD và CE . Trên cạnh BC lấy các điểm M N, sao cho BM = MN = NC. Gọi I là giao điểm của AM và BD , K là giao điểm của AN và CE . Chứng minh rằng:

a) BCDE là hình thang.

b) K là trung điểm của EC.

c) BC = 4IK

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Vì BD và CF là trung tuyến nên ED là đường trung bình của tam giác ABC (E, D lần lượt là trung điểm AB, AC)

Suy ra: ED // BC ⇒ EDCB là hình thang

b) Trong tam giác ABN có E, M là trung điểm của AB và BN (do BM = MN = NC)

⇒ EM là đường trung bình của ∆ABN

⇒ EM // AN ⇒ EM // KN

Trong ∆EMC có N là trung điểm của CM vì MN = NC và NK // EM

⇒ K là trung điểm của CE

c) Tương tự: Trong ∆BDN có M là trung điểm BN và MI // DN

Suy ra: MI là đường trung bình của tam giác BDN

⇒ I là trung điểm BD.

Trong hình thang BEDC có IK là đoạn nối trung điểm của hai đường chéo nên:

$I K = \frac{B C - D E}{2} = \frac{2 D E - D E}{2} = \frac{D E}{2}$

⇒ 2IK = DE ⇒ 4IK = 2DE = BC

Vậy 4IK = BC.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3