Câu hỏi:

13/07/2024 5,897

Cho đường tròn (O,R) cố định. Từ M nằm ngoài đường tròn (O) kẻ 2 tiếp tuyến MA,MB (A,B là các tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OM, AB.

a) Chứng minh: OM vuông góc với AB và OH.OM = R².

b) Từ M kẻ cát tuyến MNP với đường tròn (O) (N nằm giữa M,P), gọi I là trung điểm NP (I khác O). Chứng minh: A, M, O, I thuộc một đường tròn và tìm tâm của đường tròn đó.

c) Qua N kẻ tiếp tuyến với đường tròn (O), cắt MA, MB theo thứ tự C,D. Biết MA = 5cm, tính chu vi tam giác MCD.

d) Qua O kẻ đường thẳng d vuông góc với OM, cắt MA, MB lần lượt tại E, F. Xác định vị trí của điểm M để diện tích tam giác MEF nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Ta có: MA, MB là tiếp tuyến của (O)

Suy ra: MO ⊥ AB tại H.

Ta có: MA ⊥ AO, AH ⊥ MO

⇒ OH.OM = OA² = R²

b) Do I là trung điểm NP ⇒ OI ⊥ NP

Mà MA ⊥ OA, MB ⊥ OB

⇒ M, A, I, O, B ∈ đường tròn đường kính OM

⇒ Tâm của đường tròn là trung điểm MO

c) Ta có : CN, CA là tiếp tuyến của (O) ⇒ CN = CA

Tương tự:

DN = DB

⇒ PMCD = MC + CD + DM = MC + CN + ND + DM

= MC + AC + DB + DM = MA + MB = 2MA = 10.

d) Ta có :

S_MEF = $\frac{1}{2} . M O . E F$

Mà OA ⊥ ME, MO ⊥ OE

⇒ $\frac{1}{O A^{2}} = \frac{1}{O M^{2}} + \frac{1}{O E^{2}} \geq \frac{2}{O M . O E}$

⇒ OM.OE ≥ 2OA² = 2R²

⇒ S_MEF ≥ $\frac{1}{2} .2 R^{2}$ = R²

Dấu = xảy ra khi OE = OM ⇒ ΔOEM vuông cân tại O

⇒ $\hat{O M A} = 45 °$ ⇒ ΔAMO vuông cân tại A

⇒ MO = OA $\sqrt{2}$ = $R \sqrt{2}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3