Chứng minh rằng: A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.

Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ta có A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3(n3 + 5n) + 9(n2 + 1) Vậy để chứng minh A chia hết cho 9 thì ta sẽ chứng minh 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 hay n3 + 5n3 chia hết cho 3. Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên n3 + 5n = n(n2 + 5) chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9. Giả sử n chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 1. Thay vào ta có n3 + 5n = n(n2 + 5) = (3k + 1)[(3k + 1)2 + 5] = (3k + 1)(9k2 + 6k + 1 + 5) = (3k + 1)(9k2 + 6k + 6) = (3k + 1).3.(3k2 + 2k + 2) Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9. Với n chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 2. Thay vào ta có n3 + 5n = n(n2 + 5) = (3k + 2)[(3k + 2)2 + 5] = (3k + 2)(9k2 + 12k + 4 + 5) = (3k + 2)(9k2 + 12k + 9) = (3k + 2).3.(3k2 + 4k + 3) Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9. Vậy trong mọi trường hợp với n, A đều chia hết cho 9.

Câu hỏi:

15/08/2023 860

Chứng minh rằng: A = n³+ (n+1)³ + (n+2)³ chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).

Tổng ôn toán Tổng ôn sử Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ta có

A = n³+ (n+1)³ + (n+2)³

= n³+ n³+ 3n²+ 3n + 1 + n³+ 6n²+ 12n + 8

= 3n3 + 9n2 + 15n + 9

= 3(n³ + 5n) + 9(n² + 1)

Vậy để chứng minh A chia hết cho 9 thì ta sẽ chứng minh 3(n³ + 5n) chia hết cho 9 hay n³+ 5n³chia hết cho 3.

Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên n³ + 5n = n(n²+ 5) chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9.

Giả sử n chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 1. Thay vào ta có

n³ + 5n = n(n²+ 5)

= (3k + 1)[(3k + 1)² + 5]

= (3k + 1)(9k² + 6k + 1 + 5)

= (3k + 1)(9k² + 6k + 6)

= (3k + 1).3.(3k² + 2k + 2)

Vậy n³ + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n³ + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.

Với n chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 2. Thay vào ta có

n³ + 5n = n(n²+ 5)

= (3k + 2)[(3k + 2)² + 5]

= (3k + 2)(9k² + 12k + 4 + 5)

= (3k + 2)(9k² + 12k + 9)

= (3k + 2).3.(3k² + 4k + 3)

Vậy n³ + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n³ + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.

Vậy trong mọi trường hợp với n, A đều chia hết cho 9.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án » 13/07/2024 73,912

Câu 2:

Cho tam giác ABC thỏa mãn $s i n A = \frac{s i n B + s i n C}{c o s B + c o s C}$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Xem đáp án » 13/07/2024 24,176

Câu 3:

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v₁ = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v₂= 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.

Xem đáp án » 13/07/2024 24,016

Câu 4:

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6.

Xem đáp án » 13/07/2024 20,810

Câu 5:

Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.

Xem đáp án » 13/07/2024 16,524

Câu 6:

Có bao nhiêu số tròn nghìn có 5 chữ số?

Xem đáp án » 13/07/2024 13,905

Câu 7:

Cho tam giác ABC (AB < AC), AD là phân giác trong của góc A. Qua trung điểm E của cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC tại F, cắt đường thẳng AB tại G. Chứng minh CF = BG.

Xem đáp án » 13/07/2024 12,405

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Chứng minh rằng: A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.

Nhà sách VIETJACK:

Cho sin α = 13, với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Cho tam giác ABC thỏa mãn sinA=sinB+sinCcosB+cosC . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6.

Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.

Có bao nhiêu số tròn nghìn có 5 chữ số?

Cho tam giác ABC (AB < AC), AD là phân giác trong của góc A. Qua trung điểm E của cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AD, cắt cạnh AC tại F, cắt đường thẳng AB tại G. Chứng minh CF = BG.

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Chứng minh rằng: A = n³+ (n+1)³ + (n+2)³ chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Cho tam giác ABC thỏa mãn $s i n A = \frac{s i n B + s i n C}{c o s B + c o s C}$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v₁ = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v₂= 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.