Chứng minh rằng: A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.

Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ta có A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 = n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8 = 3n3 + 9n2 + 15n + 9 = 3(n3 + 5n) + 9(n2 + 1) Vậy để chứng minh A chia hết cho 9 thì ta sẽ chứng minh 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 hay n3 + 5n3 chia hết cho 3. Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên n3 + 5n = n(n2 + 5) chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9. Giả sử n chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 1. Thay vào ta có n3 + 5n = n(n2 + 5) = (3k + 1)[(3k + 1)2 + 5] = (3k + 1)(9k2 + 6k + 1 + 5) = (3k + 1)(9k2 + 6k + 6) = (3k + 1).3.(3k2 + 2k + 2) Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9. Với n chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 2. Thay vào ta có n3 + 5n = n(n2 + 5) = (3k + 2)[(3k + 2)2 + 5] = (3k + 2)(9k2 + 12k + 4 + 5) = (3k + 2)(9k2 + 12k + 9) = (3k + 2).3.(3k2 + 4k + 3) Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9. Vậy trong mọi trường hợp với n, A đều chia hết cho 9.

Câu hỏi:

19/08/2025 2,220

Chứng minh rằng: A = n³+ (n+1)³ + (n+2)³ chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ta có

A = n³+ (n+1)³ + (n+2)³

= n³+ n³+ 3n²+ 3n + 1 + n³+ 6n²+ 12n + 8

= 3n3 + 9n2 + 15n + 9

= 3(n³ + 5n) + 9(n² + 1)

Vậy để chứng minh A chia hết cho 9 thì ta sẽ chứng minh 3(n³ + 5n) chia hết cho 9 hay n³+ 5n³chia hết cho 3.

Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên n³ + 5n = n(n²+ 5) chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9.

Giả sử n chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 1. Thay vào ta có

n³ + 5n = n(n²+ 5)

= (3k + 1)[(3k + 1)² + 5]

= (3k + 1)(9k² + 6k + 1 + 5)

= (3k + 1)(9k² + 6k + 6)

= (3k + 1).3.(3k² + 2k + 2)

Vậy n³ + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n³ + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.

Với n chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 2. Thay vào ta có

n³ + 5n = n(n²+ 5)

= (3k + 2)[(3k + 2)² + 5]

= (3k + 2)(9k² + 12k + 4 + 5)

= (3k + 2)(9k² + 12k + 9)

= (3k + 2).3.(3k² + 4k + 3)

Vậy n³ + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n³ + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.

Vậy trong mọi trường hợp với n, A đều chia hết cho 9.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3