Câu hỏi:
15/08/2023 804
Chứng minh rằng: A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.
Chứng minh rằng: A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3 chia hết cho 9 với mọi n thuộc ℕ.
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Áp dụng hằng đẳng thức (a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 ta có
A = n3 + (n+1)3 + (n+2)3
= n3 + n3 + 3n2 + 3n + 1 + n3 + 6n2 + 12n + 8
= 3n3 + 9n2 + 15n + 9
= 3(n3 + 5n) + 9(n2 + 1)
Vậy để chứng minh A chia hết cho 9 thì ta sẽ chứng minh 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 hay n3 + 5n3 chia hết cho 3.
Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên n3 + 5n = n(n2 + 5) chia hết cho 3. Do đó A chia hết cho 9.
Giả sử n chia 3 dư 1, khi đó tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 1. Thay vào ta có
n3 + 5n = n(n2 + 5)
= (3k + 1)[(3k + 1)2 + 5]
= (3k + 1)(9k2 + 6k + 1 + 5)
= (3k + 1)(9k2 + 6k + 6)
= (3k + 1).3.(3k2 + 2k + 2)
Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.
Với n chia 3 dư 2, tồn tại một số tự nhiên k sao cho n = 3k + 2. Thay vào ta có
n3 + 5n = n(n2 + 5)
= (3k + 2)[(3k + 2)2 + 5]
= (3k + 2)(9k2 + 12k + 4 + 5)
= (3k + 2)(9k2 + 12k + 9)
= (3k + 2).3.(3k2 + 4k + 3)
Vậy n3 + 5n chia hết cho 3, do đó 3(n3 + 5n) chia hết cho 9 nên A chia hết cho 9.
Vậy trong mọi trường hợp với n, A đều chia hết cho 9.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 2:
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Cho tam giác ABC thỏa mãn . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.
Xem đáp án »
13/07/2024
22,502
Câu 3:
Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.
Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v1 = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v2 = 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.
Xem đáp án »
13/07/2024
21,788
Câu 5:
Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.
Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.
Xem đáp án »
13/07/2024
16,172
Câu 7:
Hai đoạn ống nước có chiều dài lần lượt là 0,8 m và 1,35 m. Người ta nối hai đầu ống để tạo thành một ống nước mới. Chiều dài của phần nối chung là Hỏi đoạn ống nước mới dài bao nhiêu mét?
Xem đáp án »
13/07/2024
8,765
về câu hỏi!