Cho n là một số nguyên dương bất kỳ và Tn = 15 + 25 + 35 + ... + n5 , An = 1 + 2 + 3 + ... + n. Chứng minh: Tn chia hết An.

Ta có tính chất an + bn ⋮ a+b Và An = nn+12 ⇒ 2An = n(n+1) Nên ta có: 2Tn = 2 (15 + 25 + 35 + ... + n5) = (15 + n5) + [25 + (n – 1)5] + … + [25 + (n – 2)5]+ … Áp dụng tính chất ta có: 15 + n5 ⋮ (n+1) [25 + (n−1)5] ⋮ (n+1) [35 + (n−2)5] ⋮ (n+1) ... Nên Tn = (15 + n5) + [25 + (n − 1)5] + [35 + (n−2)5] +... ⋮ (n + 1) Hay 2Tn ⋮ (n+1) [15+(n−1)5] ⋮ (1 + n – 1 = n) (25+(n−2)5] ⋮ n [3+(n−3)]5 ⋮ n .... Nên 2Tn = [15 + (n−1)5] + (25 + (n−2)5] + [3 + (n−3)]5 + ... + n ⋮ n Hay 2Tn ⋮ n Ta có: 2Tn ⋮ n; Tn ⋮ n(n + 1) Mà (n; n+1) = 1 nên 2Tn ⋮ n.(n+1) Hay 2Tn ⋮ 2An ⇒ Tn chia hết An.

Câu hỏi:

13/07/2024 434

Cho n là một số nguyên dương bất kỳ và T_n = 1⁵+ 2⁵ + 3⁵ + ... + n⁵ , A_n = 1 + 2 + 3 + ... + n. Chứng minh: T_n chia hết A_n.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có tính chất aⁿ + bⁿ ⋮ a+b

Và A_n= $\frac{n (n + 1)}{2}$ ⇒ 2A_n = n(n+1)

Nên ta có:

2T_n = 2 (1⁵+ 2⁵ + 3⁵ + ... + n⁵)

= (1⁵+ n⁵) + [2⁵ + (n – 1)⁵] + … + [2⁵ + (n – 2)⁵]+ …

Áp dụng tính chất ta có: 1⁵ + n⁵ ⋮ (n+1)

[2⁵+ (n−1)⁵] ⋮ (n+1)

[3⁵+ (n−2)⁵] ⋮ (n+1)

...

Nên T_n = (1⁵+ n⁵) + [2⁵+ (n − 1)⁵] + [3⁵+ (n−2)⁵] +... ⋮ (n + 1)

Hay 2T_n⋮ (n+1)

[1⁵+(n−1)⁵] ⋮ (1 + n – 1 = n)

(2⁵+(n−2)⁵] ⋮ n

[3+(n−3)]⁵⋮ n

....

Nên 2T_n = [1⁵+ (n−1)⁵] + (2⁵+ (n−2)⁵] + [3 + (n−3)]⁵+ ... + n ⋮ n

Hay 2T_n ⋮ n

Ta có: 2T_n ⋮ n; T_n ⋮ n(n + 1)

Mà (n; n+1) = 1 nên 2T_n⋮ n.(n+1)

Hay 2T_n⋮ 2A_n

⇒ T_n chia hết A_n.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3