Câu hỏi:

15/08/2023 1,275

Cho hình bình hành ABCD. Các đường phân giác của các góc lần lượt cắt nhau tại E, F, G, H. Chứng minh: EFGH là hình chữ nhật.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) Gọi M, N, P, Q lần lượt là giao điểm của các đường phân giác với các cạnh của hình bình hành.

Ta có: $\hat{D_{1}} = \hat{D_{2}} = \frac{\hat{A D C}}{2}$ (DN là phân giác $\hat{A D C}$ )

$\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{\hat{A B C}}{2}$ (BQ là phân giác $\hat{A B C}$ )

Mà $\hat{A D C} = \hat{A B C}$ (hai góc đối của hình bình hành ABCD)

⇒ $\hat{D_{1}} = \hat{B_{1}}$

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD ⇒ $\hat{Q_{1}} = \hat{B_{1}}$ (hai góc so le trong)

⇒ $\hat{Q_{1}} = \hat{D_{1}}$

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

⇒ DN // BQ hay HE // GF

Ta có: $\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = \frac{\hat{D A B}}{2}$ (AP là phân giác $\hat{D A B}$ )

$\hat{C_{1}} = \hat{C_{2}} = \frac{\hat{D C B}}{2}$ (CM là phân giác $\hat{D C B}$ )

Mà $\hat{D A B} = \hat{D C B}$ (hai góc đối của hình bình hành ABCD)

⇒ $\hat{A_{1}} = \hat{C_{1}}$

Vì ABCD là hình bình hành AB // CD ⇒ $\hat{A_{1}} = \hat{Q P G}$ (hai góc so le trong)

⇒ $\hat{C_{1}} = \hat{Q P B}$

⇒ AP //DM hay GH // EF

Xét tứ giác EFGH có:

HE // GF (cmt)

GH // EF (cmt)

⇒ EFGH là hình bình hành (1)

Xét tam giác BFC, có: $\hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} = \frac{\hat{A B C}}{2} + \frac{\hat{B C D}}{2} = \frac{\hat{A B C} + \hat{B C D}}{2}$

Mà $\hat{A B C} + \hat{B C D}$ = 180°(hai góc trong cùng phía bù nhau)

⇒ $\hat{B_{2}} + \hat{C_{2}} = \frac{180 °}{2} = 90 °$ ⇒ $\hat{B F C} = 180 ° - (\hat{B_{2}} + \hat{C_{2}}) = 90 °$

⇒ $\hat{E F G}$ = 90°(2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác EFGH là hình chữ nhật.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3