Câu hỏi:

13/07/2024 8,838

Cho tam giác ABC và điểm M thỏa mãn $3 \vec{M A} + 2 \vec{M B} = \vec{0}$ . Trên các cạnh AC, BC lấy các điểm P, Q sao cho CPMQ là hình bình hành. Lấy điểm N trên AQ sao cho $a \vec{N A} + b \vec{N Q} = \vec{0}$ (với a, b ∈ ℤ và a, b nguyên tố cùng nhau). Khi ba điểm B, N, P thẳng hàng hãy tính a + b.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

$\vec{N P} = \vec{N A} + \vec{A P} = \vec{N A} + \frac{2}{5} \vec{A C}$

$\vec{N B} = \vec{N A} + \vec{A B} = \vec{N A} + \frac{5}{2} \vec{A M} = \vec{N A} + \frac{5}{2} (\vec{A Q} + \vec{Q M})$

Lại có: $a \vec{N A} + b \vec{N Q} = \vec{0}$ ⇒ $a \vec{N A} + b \vec{N A} + b \vec{A Q} = \vec{0}$ ⇒ $\vec{A Q} = \frac{- (a + b)}{b} \vec{N A}$

$\vec{N B} = \vec{N A} + \frac{5}{2} \vec{A Q} + \frac{5}{2} \vec{Q M} = \vec{N A} + \frac{5}{2} . \frac{- (a + b)}{b} \vec{N A} + \frac{5}{2} \vec{C P}$ (CPMQ là hình bình hành)

= $\frac{- 5 a - 3 b}{2 b} \vec{N A} + \frac{5}{2} . \frac{3}{5} \vec{C A}$

= $\frac{- 5 a - 3 b}{2 b} \vec{N A} + \frac{3}{2} \vec{C A}$

B, N, P thẳng hàng nên: $k \vec{N P} = \vec{N B}$

⇒ $k \vec{N A} + \frac{2 k}{5} \vec{A C} = \frac{- 5 a - 3 b}{2 b} \vec{N A} - \frac{3}{2} \vec{A C}$

⇒ $\{\begin{cases} k = \frac{- 5 a - 3 b}{2 b} \\ \frac{2 k}{5} = \frac{- 3}{2} \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} \frac{15}{4} = \frac{5 a + 3 b}{2 b} \\ k = \frac{- 15}{4} \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} 30 b = 4 (5 a + 3 b) = 20 a + 12 b \\ k = \frac{- 15}{4} \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} 18 b = 20 a \\ k = \frac{- 15}{4} \end{cases}$

⇒ $\{\begin{cases} \frac{a}{b} = \frac{9}{10} \\ k = \frac{- 15}{4} \end{cases}$

Vậy a + b = 19.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3