Câu hỏi:

13/07/2024 10,030

Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Vẽ tiếp tuyến Bx của (O). Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB có chứa Bx, lấy điểm M thuộc (O) (M khác A và B) sao cho MA > MB. Tia AM cắt Bx tại C. Từ C kẻ tiếp tuyến thứ hai CD với (O) (D là tiếp điểm).

1) Chứng minh OC ⊥ BD.

2) Chứng minh bốn điểm O, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

3) Chứng minh $\hat{C M D} = \hat{C D A}$ .

4) Kẻ MH vuông góc với AB tại H. Tìm vị trí của M để chu vi tam giác OMH đạt giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

1) CB, CD là hai tiếp tuyến của (O)

Suy ra: CB = CD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà OB = OD = R

⇒ OC là trung trực của BD ⇒ OC ⊥ BD

2) Ta có: OB ⊥ BC (BC là tiếp tuyến của (O))

⇒ ∆OBC vuông tại B

⇒ ∆OBC nội tiếp đường tròn đường kính OC

⇒ O, B, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC

∆ODC vuông tại D nên ∆ODC nội tiếp đường tròn đường kính OC

⇒ O, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính OC

Vậy O, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính OC.

3) Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông BAC vuông tại B ta có:

CM.CA = CB²

Vì CB = CD nên CM.CA=CD²

Xét ∆CMD và ∆CDA có: $\frac{C M}{C D} = \frac{C D}{C A}$

Chung $\hat{C}$

⇒ ∆CMD ~ ∆CDA (c.g.c)

⇒ $\hat{C M D} = \hat{C D A}$

4) Chu vi ∆OMH = R + OH + MH

(OH + MH)² = OH² + MH² + 2.OH.MH = OM² + 2 .OH.MH

= R² + 2 .OH.MH ≤ 2R²

⇒ OH + MH ≤ R $\sqrt{2}$

⇒ Chu vi ∆OMH = R + OH + MH ≤ R + R $\sqrt{2}$ = $(1 + \sqrt{2}) R$

Vậy chu vi ∆OMH lớn nhất bằng $(1 + \sqrt{2}) R$ khi điểm M thuộc (O) thỏa mãn $\hat{B O M} = 45 °$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3