Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm; M và B nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

b) KA là tia phân giác của $\widehat{MKN}$ .

c) AN² = AK.AH.

d) H là trực tâm của tam giác ABC.

a) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\widehat{AMO}=\widehat{ANO}$ = 90°

AK là đường cao của tam giác ABC nên $\widehat{AKO}=\widehat{AKC}$ = 90°

Ba điểm M, K, N cùng nhìn đoạn AO dưới một góc vuông nên năm điểm M, K, N, A, O thuộc đường tròn đường kính AO.

Vậy tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

b) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM = AN (1)

Theo chứng minh câu trên, năm điểm M, K, N, O, A cùng thuộc một đường tròn nên ta có tứ giác AMKN nội tiếp

Từ (1) và (2) suy ra $\widehat{AKM}=\widehat{AKN}$  (các góc nội tiếp cùng chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau). Vậy KA là tia phân giác của $\widehat{MKN}$

c) $\left\{\begin{array}{l}\widehat{ANH}=\widehat{AKM}\\ \widehat{AKM}=\widehat{AKN}\end{array}\right.$  ⇒ $\widehat{AKN}=\widehat{ANH}$

∆ANK và ∆ANH có:

⇒ ∆AHN ~ ∆ANK (g.g)

Suy ra: $\frac{AN}{AK}=\frac{AH}{AN}$  hay AN² = AH.AK (3)     

d) Gọi D là giao điểm của AC và (O)

∆AND và ∆CAN có $\widehat{NAD}=\widehat{NAC},\widehat{AND}=\widehat{ACN}$  (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) nên ∆AND ~ ∆CAN (g.g)

Suy ra: $\frac{AN}{AC}=\frac{AD}{AN}$   hay AN² = AD.AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AH.AK = AD. AC hay $\frac{AH}{AC}=\frac{AD}{AK}$

Xét ∆AHD và ∆ACK có:

 $\left\{\begin{array}{l}\widehat{HAD}=\widehat{KAC}\\ \frac{AH}{AC}=\frac{AD}{AK}\end{array}\right.$  ⇒∆AHD ~ ∆ACK (c.g.c)

 ⇒ $\widehat{ADH}=\widehat{AKC}=90°$. Dẫn đến $\widehat{HDC}=90°$  (5)

Điểm D thuộc đường tròn đường kính BC nên $\widehat{BDC}=90°$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra: B, H, D thẳng hàng

Nghĩa là BH ⊥ AC. Lại có: AH ⊥ BC nên H là trực tâm của tam giác ABC.