Câu hỏi:

19/08/2025 1,814

Cho tam giác ABC (AB < AC), đường cao AK. Vẽ đường tròn tâm O đường kính BC. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M, N là các tiếp điểm; M và B nằm trên nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AO). Gọi H là giao điểm của hai đường thẳng MN và AK. Chứng minh rằng:

a) Tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

b) KA là tia phân giác của $\hat{M K N}$ .

c) AN² = AK.AH.

d) H là trực tâm của tam giác ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên $\hat{A M O} = \hat{A N O}$ = 90°

AK là đường cao của tam giác ABC nên $\hat{A K O} = \hat{A K C}$ = 90°

Ba điểm M, K, N cùng nhìn đoạn AO dưới một góc vuông nên năm điểm M, K, N, A, O thuộc đường tròn đường kính AO.

Vậy tứ giác AMKO nội tiếp đường tròn.

b) AM, AN là tiếp tuyến của đường tròn (O) nên AM = AN (1)

Theo chứng minh câu trên, năm điểm M, K, N, O, A cùng thuộc một đường tròn nên ta có tứ giác AMKN nội tiếp

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{A K M} = \hat{A K N}$ (các góc nội tiếp cùng chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau). Vậy KA là tia phân giác của $\hat{M K N}$

c) $\{\begin{cases} \hat{A N H} = \hat{A K M} \\ \hat{A K M} = \hat{A K N} \end{cases}$ ⇒ $\hat{A K N} = \hat{A N H}$

∆ANK và ∆ANH có:

⇒ ∆AHN ~ ∆ANK (g.g)

$\hat{A K N} = \hat{A N H}$

$\hat{K A N} = \hat{H A N}$

Suy ra: $\frac{A N}{A K} = \frac{A H}{A N}$ hay AN² = AH.AK (3)

d) Gọi D là giao điểm của AC và (O)

∆AND và ∆CAN có $\hat{N A D} = \hat{N A C}, \hat{A N D} = \hat{A C N}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau) nên ∆AND ~ ∆CAN (g.g)

Suy ra: $\frac{A N}{A C} = \frac{A D}{A N}$ hay AN² = AD.AC (4)

Từ (3) và (4) suy ra: AH.AK = AD. AC hay $\frac{A H}{A C} = \frac{A D}{A K}$

Xét ∆AHD và ∆ACK có:

$\{\begin{cases} \hat{H A D} = \hat{K A C} \\ \frac{A H}{A C} = \frac{A D}{A K} \end{cases}$ ⇒∆AHD ~ ∆ACK (c.g.c)

⇒ $\hat{A D H} = \hat{A K C} = 90 °$ . Dẫn đến $\hat{H D C} = 90 °$ (5)

Điểm D thuộc đường tròn đường kính BC nên $\hat{B D C} = 90 °$ (6)

Từ (5) và (6) suy ra: B, H, D thẳng hàng

Nghĩa là BH ⊥ AC. Lại có: AH ⊥ BC nên H là trực tâm của tam giác ABC.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3