Câu hỏi:

13/07/2024 1,126

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB và M là điểm nằm trên (O). Tiếp tuyến tại M cắt tiếp tuyến tại A và B của (O) lần lượt ở C và D. Đường thẳng AM cắt OC tại E, đường thẳng BM cắt OD tại F

a, Chứng minh: $\hat{C O D}$ = 90°.

b, Tứ giác MEOF là hình gì?

c, Chứng minh AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a, Dễ thấy $\hat{A M B}$ = 90° hay $\hat{E M F}$ = 90° ( là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Tiếp tuyến CM, CA ⇒ OC ⊥ AM ⇒ $\hat{O E M}$ = 90°

Tương tự ⇒ $\hat{O E M}$ = 90°

Xét ∆CAO và ∆CMO có:

CM = CA (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

$\hat{C M O} = \hat{C A O}$ = 90°

Chung CO

⇒ ∆CAO = ∆CMO (c.g.c)

⇒ $\hat{A O C} = \hat{M O C}$

⇒ OC là tia phân giác của $\hat{A M O}$

Tương tự OD là tia phân giác của $\hat{B O M}$ suy ra OC ⊥ OD ⇒ $\hat{C O D}$ = 90°

b, Do ∆AOM cân tại O nên OE là đường phân giác đồng thời là đường cao

⇒ $\hat{O E M}$ = 90°chứng minh tương tự = 90°

Vậy MEOF là hình chữ nhật.

c, Gọi I là trung điểm CD thì I là tâm đường tròn đường kính CD và IO = IC = ID.

Có ABDC là hình thang vuông tại A và B nên IO // AC // BD và IO vuông góc với AB.

Do đó AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3