Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x1−x+4x .

Ta có: P = x1−x+4x=x1−x+4−4x+4xx=x1−x+41−xx+4 Vì 0 < x < 1 nên 1 – x > 0 ⇒ x1−x>0; 41−xx>0 Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho hai số không âm x1−x và 41−xx ta có: x1−x+41−xx≥2x1−x.41−xx=4 ⇔ x1−x+41−xx+4≥8 ⇔ P ≥ 8 Dấu “=” xảy ra khi: x1−x=41−xx ⇔ x2 = 4(x – 1)2 ⇔ x=2x−2x=−2x+2 ⇔ x=2x=23 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi x = 23

Câu hỏi:

13/07/2024 2,064

Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x}{1 - x} + \frac{4}{x}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: P = $\frac{x}{1 - x} + \frac{4}{x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{4 - 4 x + 4 x}{x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{x} + 4$

Vì 0 < x < 1 nên 1 – x > 0 ⇒ $\frac{x}{1 - x} > 0;$ $\frac{4 (1 - x)}{x} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho hai số không âm $\frac{x}{1 - x}$ và $\frac{4 (1 - x)}{x}$ ta có:

$\frac{x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{1 - x} . \frac{4 (1 - x)}{x}} = 4$

⇔ $\frac{x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{x} + 4 \geq 8$

⇔ P ≥ 8

Dấu “=” xảy ra khi: $\frac{x}{1 - x} = \frac{4 (1 - x)}{x}$ ⇔ x² = 4(x – 1)²

⇔ $[\begin{array}{l} x = 2 x - 2 \\ x = - 2 x + 2 \end{array}$ ⇔ $[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi x = $\frac{2}{3}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3