Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x1−x+4x .

Ta có: P = x1−x+4x=x1−x+4−4x+4xx=x1−x+41−xx+4 Vì 0 < x < 1 nên 1 – x > 0 ⇒ x1−x>0; 41−xx>0 Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho hai số không âm x1−x và 41−xx ta có: x1−x+41−xx≥2x1−x.41−xx=4 ⇔ x1−x+41−xx+4≥8 ⇔ P ≥ 8 Dấu “=” xảy ra khi: x1−x=41−xx ⇔ x2 = 4(x – 1)2 ⇔ x=2x−2x=−2x+2 ⇔ x=2x=23 Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi x = 23

Câu hỏi:

13/07/2024 1,122

Cho 0 < x < 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = $\frac{x}{1 - x} + \frac{4}{x}$ .

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có: P = $\frac{x}{1 - x} + \frac{4}{x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{4 - 4 x + 4 x}{x} = \frac{x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{x} + 4$

Vì 0 < x < 1 nên 1 – x > 0 ⇒ $\frac{x}{1 - x} > 0;$ $\frac{4 (1 - x)}{x} > 0$

Áp dụng bất đẳng thức Cô–si cho hai số không âm $\frac{x}{1 - x}$ và $\frac{4 (1 - x)}{x}$ ta có:

$\frac{x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{1 - x} . \frac{4 (1 - x)}{x}} = 4$

⇔ $\frac{x}{1 - x} + \frac{4 (1 - x)}{x} + 4 \geq 8$

⇔ P ≥ 8

Dấu “=” xảy ra khi: $\frac{x}{1 - x} = \frac{4 (1 - x)}{x}$ ⇔ x² = 4(x – 1)²

⇔ $[\begin{array}{l} x = 2 x - 2 \\ x = - 2 x + 2 \end{array}$ ⇔ $[\begin{array}{l} x = 2 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 8 khi x = $\frac{2}{3}$

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án » 13/07/2024 77,279

Câu 2:

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v₁ = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v₂= 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.

Xem đáp án » 13/07/2024 25,164

Câu 3:

Cho tam giác ABC thỏa mãn $s i n A = \frac{s i n B + s i n C}{c o s B + c o s C}$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Xem đáp án » 13/07/2024 25,064

Câu 4:

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6.

Xem đáp án » 13/07/2024 21,925

Câu 5:

Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.

Xem đáp án » 13/07/2024 18,459

Câu 6:

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,010

Câu 7:

Có bao nhiêu số tròn nghìn có 5 chữ số?

Xem đáp án » 13/07/2024 14,953

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP