Câu hỏi:

13/07/2024 1,535

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông bằng cạnh bằng a, tam giác SAB là tam giác đều, SC = SD = $a \sqrt{2}$ . Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD?

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi M, N là trung điểm của AB và CD

MN là đường trung bình của ABCD nên MN // AD // BC

Mà AB ⊥ AD nên MN ⊥ AB

Vì ∆SAB đều nên SM ⊥ AB

Suy ra: AB ⊥ (SMN) ⇒ (SMN) ⊥ (ABCD)

Lại có: ∆SAB đều ⇒ SM = $\frac{a \sqrt{3}}{2}$

Tam giác SCD cân nên: SN ⊥ CD

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác SCN ta có:

SN = $\sqrt{S C^{2} - {(\frac{C D}{2})}^{2}} = \sqrt{2 a^{2} - \frac{a^{2}}{4}}$ = $\frac{a \sqrt{7}}{2}$

Kẻ SH ⊥ MN (H thuộc MN)

Suy ra: SH ⊥ (ABCD)

Mặt khác: S_MNS = $\sqrt{p (p - S M) (p - S N) (p - M N)}$ (công thức Hê–rông)

Mà p = (SM + SN + MN) : 2 = $(\frac{a \sqrt{3}}{2} + \frac{a \sqrt{7}}{2} + a) : 2 = \frac{a \sqrt{3} + a \sqrt{7} + 2 a}{4}$

Suy ra: S_MNS = $\sqrt{p (p - S M) (p - S N) (p - M N)}$ = $\frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}$

Mà S_MNS = $\frac{1}{2} . S H . M N$ . Suy ra: SH = $\frac{2 S_{M N S}}{M N} = \frac{2. \frac{a^{2} \sqrt{3}}{4}}{a} = \frac{a \sqrt{3}}{2}$

Thể tích khối chóp S.ABCD là: V_S.ABCD =

\frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . \frac{a \sqrt{3}}{2} . a^{2} = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{6}

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3