Câu hỏi:

19/08/2025 1,353

Tam giác ABC. Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB, AC, BC và M, N, P, Q theo thức tự là trung điểm của đoạn thẳng DA, AE, EF, FD

a. Chứng minh: EF là đường trung bình của tam giác ABC.

b. Chứng minh: Tứ giác DAEF, MNPQ là hình bình hành.

c. Khi tam giác ABC vuông tại A thì các tứ giác DAEF, MNPQ là hình gì?

d. Tìm điều kiện của tam giác ABC để tứ giác MNPQ là hình vuông

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

a) ΔABC có:

E là trung điểm của AC.

F là trung điểm của BC.

⇒ EF là đường trung bình của ΔABC. (đpcm)

b) Ta có: EF là đường trung bình của ΔABC. (cmt)

⇒ EF // AB và EF = $\frac{1}{2}$ AB.

Lại có: D là trung điểm của AB (gt) và D ∈ AB

⇒ AD = $\frac{1}{2}$ AB và AD // EF. (2)

Từ (1), (2) ⇒ EF / AD và EF = AD.

⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành. (đpcm)

ΔAED có:

N là trung điểm của AE. (gt)

M là trung điểm của AD. (gt)

⇒ MN là đường trung bình của ΔAED.

⇒ MN // ED và MN = $\frac{1}{2}$ ED. (3)

Chứng minh tương tự, ta được: PQ // ED và PQ = $\frac{1}{2}$ ED.

Từ (3), (4) ⇒ MN // PQ và MN = PQ.

⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành. (đpcm)

c) Khi ΔABC vuông tại A thì $\hat{A} = 90 °$

Suy ra hình bình hành DAEF có $\hat{A} = 90 °$ nên DAEF là hình chữ nhật

Khi đó AF = DE

Mặt khác theo tính chất đường trung bình ta có MN = $\frac{1}{2}$ DE, NP = $\frac{1}{2}$ AF

Khi đó: MN = NP

⇒ MNPQ là hình bình hành có MN = NP nên MNPQ là hình thoi.

d) ΔABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi.

Để tứ giác MNPQ là hình vuông thì MN vuông góc NP mà MN // DE, NP // AF (tính chất đường trung bình)

Nếu DE ⊥ AF mà DE // BC (tính chất đường trung bình). Suy ra: AF ⊥ BC

Suy ra: ΔABC vuông tại A có AF vừa là đường trung tuyến vừa là đường cao nên ΔABC vuông cân tại A.

Vậy ΔABC vuông cân tại A thì MNPQ là hình vuông.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3