Xét tất cả các số thực x, y sao cho a4x−log5x2≤2540−y2 đúng với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x – 3y bằng:

Ta có: a4x−log5x2≤2540−y2 ⇔ log5a4x−log5a2≤log52540−y2 ⇔ 4x−2log5alog5≤240−y2 ⇔ log52a−2xlog5a+40−y2≥0 (*) Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn log5a Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì: ∆' ≤ 0 ⇔ x2 – (40 – y2) ≤ 0 ⇔ x2 + y2 – 40 ≤ 0 (1) Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C1) tâm O(0;0), bán kình R1 = 210 Mặt khác P = x2 + y2 + x – 3y ⇔ x2 + y2 + x – 3y – P = 0 là phương trình đường trogn (C2) tâm I−12;32 , bán kính R2 = 1210+4P Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C1) và (C2) thì: R2 ≤ R1 + OI ⇔ 1210+4P ≤ 210 + 1210 ⇔ 10+4P≤510 ⇔ P ≤ 60. Vậy Pmax = 60.

Câu hỏi:

13/07/2024 2,615

Xét tất cả các số thực x, y sao cho $a^{4 x - \log_{5} x^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}$ đúng với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x² + y² + x – 3y bằng:

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$a^{4 x - \log_{5} x^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}$

⇔ $\log_{5} a^{4 x - \log_{5} a^{2}} \leq \log_{5} 25^{40 - y^{2}}$

⇔ $(4 x - 2 \log_{5} a) \log_{5} \leq 2 (40 - y^{2})$

⇔ $\log_{5}^{2} a - 2 x \log_{5} a + 40 - y^{2} \geq 0$ (*)

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn log₅a

Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì:

∆' ≤ 0 ⇔ x² – (40 – y²) ≤ 0 ⇔ x² + y² – 40 ≤ 0 (1)

Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C₁) tâm O(0;0), bán kình R₁ = $2 \sqrt{10}$

Mặt khác P = x² + y² + x – 3y ⇔ x² + y² + x – 3y – P = 0 là phương trình đường trogn (C₂) tâm I $(\frac{- 1}{2}; \frac{3}{2})$ , bán kính R₂ = $\frac{1}{2} \sqrt{10 + 4 P}$

Media VietJack

Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C₁) và (C₂) thì:

R₂ ≤ R₁ + OI ⇔ $\frac{1}{2} \sqrt{10 + 4 P}$ ≤ $2 \sqrt{10}$ + $\frac{1}{2} \sqrt{10}$

⇔ $\sqrt{10 + 4 P} \leq 5 \sqrt{10}$ ⇔ P ≤ 60.

Vậy P_max= 60.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án

Lời giải

sin²α = ${(\frac{1}{3})}^{2} = \frac{1}{9}$

Ta có: sin²α + cos²α = 1

Suy ra: cos²α = 1 – sin²α = $1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$

cos α = $\pm \sqrt{\frac{8}{9}} = \pm \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Vì 90° < α < 180° nên cos α = $- \frac{2 \sqrt{2}}{3}$

Câu 2

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án

Lời giải

Media VietJack

a) Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ AB = AC mà OB = OC⇒ AO là đường trung trực của BC

⇒ OA ⊥ BC

b) Xét ΔACE và ΔADC có:

$\hat{A C E} = \hat{A D C}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung EC)

$\hat{E A C} = \hat{D A C}$

⇒ ΔACE ∼ ΔADC (g.g)

⇒ $\frac{A C}{A D} = \frac{A E}{A C}$

⇒ AE.AD = AC² = AH.AO (ΔACO vuông tại C có CH là đường cao)

Câu 3