Xét tất cả các số thực x, y sao cho a4x−log5x2≤2540−y2 đúng với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x2 + y2 + x – 3y bằng:

Ta có: a4x−log5x2≤2540−y2 ⇔ log5a4x−log5a2≤log52540−y2 ⇔ 4x−2log5alog5≤240−y2 ⇔ log52a−2xlog5a+40−y2≥0 (*) Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn log5a Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì: ∆' ≤ 0 ⇔ x2 – (40 – y2) ≤ 0 ⇔ x2 + y2 – 40 ≤ 0 (1) Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C1) tâm O(0;0), bán kình R1 = 210 Mặt khác P = x2 + y2 + x – 3y ⇔ x2 + y2 + x – 3y – P = 0 là phương trình đường trogn (C2) tâm I−12;32 , bán kính R2 = 1210+4P Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C1) và (C2) thì: R2 ≤ R1 + OI ⇔ 1210+4P ≤ 210 + 1210 ⇔ 10+4P≤510 ⇔ P ≤ 60. Vậy Pmax = 60.

Câu hỏi:

13/07/2024 1,999

Xét tất cả các số thực x, y sao cho $a^{4 x - \log_{5} x^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}$ đúng với mọi số thực dương a. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = x² + y² + x – 3y bằng:

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Sale Tết giảm 50% 2k7: Bộ 20 đề minh họa Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. form chuẩn 2025 của Bộ giáo dục (chỉ từ 49k/cuốn).

20 đề Toán 20 đề Văn Các môn khác

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có:

$a^{4 x - \log_{5} x^{2}} \leq 25^{40 - y^{2}}$

⇔ $\log_{5} a^{4 x - \log_{5} a^{2}} \leq \log_{5} 25^{40 - y^{2}}$

⇔ $(4 x - 2 \log_{5} a) \log_{5} \leq 2 (40 - y^{2})$

⇔ $\log_{5}^{2} a - 2 x \log_{5} a + 40 - y^{2} \geq 0$ (*)

Coi (*) là phương trình bậc hai ẩn log₅a

Để (*) đúng với mọi số thực dương a thì:

∆' ≤ 0 ⇔ x² – (40 – y²) ≤ 0 ⇔ x² + y² – 40 ≤ 0 (1)

Ta có biểu thức (1) là hình tròn (C₁) tâm O(0;0), bán kình R₁ = $2 \sqrt{10}$

Mặt khác P = x² + y² + x – 3y ⇔ x² + y² + x – 3y – P = 0 là phương trình đường trogn (C₂) tâm I $(\frac{- 1}{2}; \frac{3}{2})$ , bán kính R₂ = $\frac{1}{2} \sqrt{10 + 4 P}$

Media VietJack

Để tồn tại điểm chung của đường tròn (C₁) và (C₂) thì:

R₂ ≤ R₁ + OI ⇔ $\frac{1}{2} \sqrt{10 + 4 P}$ ≤ $2 \sqrt{10}$ + $\frac{1}{2} \sqrt{10}$

⇔ $\sqrt{10 + 4 P} \leq 5 \sqrt{10}$ ⇔ P ≤ 60.

Vậy P_max= 60.

Nhà sách VIETJACK:

Xem thêm kho sách »

Combo - Sổ tay kiên thức trọng tâm Toán, Lí, Hóa dành cho 2k7 VietJack

₫29.000 (Đã bán 152)

Sách - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,2k)

Sách Combo - Tuyển tập 30 đề thi đánh giá năng lực Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh (2 cuốn) - 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 1,6k)

Sách - Tuyển tập 15 đề thi Đánh giá tư duy Đại học Bách Khoa Hà Nội 2025 cho 2k7 VietJack

₫140.000 ₫300.000 (Đã bán 2,7k)

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho sin α = $\frac{1}{3},$ với 90° < α < 180°. Tính cos α.

Xem đáp án » 13/07/2024 77,279

Câu 2:

Một xe đi nửa đoạn đường đầu tiên với tốc độ trung bình v₁ = 12km/h và nửa đoạn đường sau với tốc độ trung bình v₂= 20km/h. Tính tốc độ trung bình trên cả đoạn đường.

Xem đáp án » 13/07/2024 25,163

Câu 3:

Cho tam giác ABC thỏa mãn $s i n A = \frac{s i n B + s i n C}{c o s B + c o s C}$ . Chứng minh tam giác ABC là tam giác vuông.

Xem đáp án » 13/07/2024 25,064

Câu 4:

Tính diện tích tam giác ABC có AB = 3; BC = 5; CA = 6.

Xem đáp án » 13/07/2024 21,925

Câu 5:

Có 3 học sinh nữ và 2 học sinh nam. Ta muốn sắp xếp vào 1 bàn dài có 5 ghế ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho 3 học sinh nữ ngồi liền nhau.

Xem đáp án » 13/07/2024 18,459

Câu 6:

Cho đường tròn (O) và một điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC của đường tròn (O) (B và C là hai tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại H.

b) Từ B vẽ đường kính BD của (O), đường thẳng AD cắt đường tròn (O) tại E (khác D), Chứng minh: AE.AD = AH.AO.

Xem đáp án » 13/07/2024 15,010

Câu 7:

Có bao nhiêu số tròn nghìn có 5 chữ số?

Xem đáp án » 13/07/2024 14,952

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bình luận

Hỏi bài tập

🔥 Đề thi HOT:

Đăng ký gói thi VIP