Tính tổng S_n = 1² + 2² + ... + n².

Với n = 1 ta có\[{S_1} = {1^2} = \frac{{1 = 1(1 + 1)(2.1 + 1)}}{6}\]

Với n = 2 ta có\[{S_2} = {1^2} + {2^2} = 5 = \frac{{2(2 + 1)(2.2 + 1)}}{6}\]

Với n = 3 ta có\[{S_3} = {1^2} + {2^2} + {3^2} = 14 = \frac{{3(3 + 1)(2.3 + 1)}}{6}\]

Dự đoán \[{S_n} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\](*), ta sẽ chứng minh đẳng thức (*) đúng bằng phương pháp quy nạp.

Với n = 1 thì (*) đúng.

Giả sử (*) đúng đến n = k, tức là\[{S_k} = {1^2} + {2^2} + ... + {k^2} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6}\] ta chứng minh (*) đúng đến n = k + 1, tức là cần chứng minh\[{S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \frac{{\left( {k + 1} \right)\left( {\left( {k + 1} \right) + 1} \right)\left( {2\left( {k + 1} \right) + 1} \right)}}{6}\]

Ta có:

\[{S_{k + 1}} = {1^2} + {2^2} + ... + {\left( {k + 1} \right)^2} = \frac{{k\left( {k + 1} \right)\left( {2k + 1} \right)}}{6} + {(k + 1)^2}\]

\[ = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + k + 6k + 6)}}{6} = \frac{{(k + 1)(2{k^2} + 7k + 6)}}{6} = \frac{{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}}{6}\]

\[ = \frac{{(k + 1)((k + 1) + 1)(2(k + 1) + 1)}}{6}\]

Þ (*) đúng với mọi n.

Vậy \[{S_n} = \frac{{n(n + 1)(2n + 1)}}{6}\].