Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi điểm M là trung điểm của AA' và điểm N thuộc cạnh BB' sao cho BN=13BB'. Đường thẳng C'M cắt đường thẳng CA tại D, đường thẳng C'N cắt đường thẳng C...

Ta có: VAMDBNE = VC'.CDE − VCC'ABMN = VC'.CDE − (V − VC'.A'B'NM) SCDESABC=CDCA . CECB Áp dụng định lí Ta-lét ta có: DADC=AMCC'=12⇒CDCA=2 EBEC=BNCC'=13⇒CECB=32 ⇒SCDESABC=CDCA . CECB=2 . 32=3 Lại có chóp C'.CDE và lăng trụ có cùng chiều cao. ⇒VC'.CDEV=13SCDESABC=1⇒VC'.CDE=V Ta có: SA'B'NMSABB'A'=12A'M+B'N . dA'; BB'BB' . dA'; BB' =1212BB'+23BB'BB'=712 ⇒VC'.A'B'NMVC'.ABB'A'=SA'B'NMSABB'A'=712 ⇒VC'.A'B'NM=712VC'.ABB'A' Mà VC'.ABB'A'=23V⇒VC'.A'B'NM=712 . 23V=718V Vậy VAMDBNE=V−V−718V=718V hay VAMDBNEV=718.

Câu hỏi:

13/07/2024 483

Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có thể tích bằng V. Gọi điểm M là trung điểm của AA' và điểm N thuộc cạnh BB' sao cho $B N = \frac{1}{3} B B'$ . Đường thẳng C'M cắt đường thẳng CA tại D, đường thẳng C'N cắt đường thẳng CB tại E. Tính tỉ số thể tích khối đa diện lồi AMDBNE và khối lăng trụ ABC.A'B'C'.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Ta có: V_AMDBNE = V_C'.CDE − V_CC'ABMN = V_C'.CDE − (V − V_C'.A'B'NM)

$\frac{S_{C D E}}{S_{A B C}} = \frac{C D}{C A} . \frac{C E}{C B}$

Áp dụng định lí Ta-lét ta có:

$\frac{D A}{D C} = \frac{A M}{C C'} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{C D}{C A} = 2$

$\frac{E B}{E C} = \frac{B N}{C C'} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{C E}{C B} = \frac{3}{2}$

$\Rightarrow \frac{S_{C D E}}{S_{A B C}} = \frac{C D}{C A} . \frac{C E}{C B} = 2 . \frac{3}{2} = 3$

Lại có chóp C'.CDE và lăng trụ có cùng chiều cao.

$\Rightarrow \frac{V_{C' . C D E}}{V} = \frac{1}{3} \frac{S_{C D E}}{S_{A B C}} = 1 \Rightarrow V_{C' . C D E} = V$

Ta có:

$\frac{S_{A' B' N M}}{S_{A B B' A'}} = \frac{\frac{1}{2} (A' M + B' N) . d (A'; B B')}{B B' . d (A'; B B')}$

$= \frac{\frac{1}{2} (\frac{1}{2} B B' + \frac{2}{3} B B')}{B B'} = \frac{7}{12}$

$\Rightarrow \frac{V_{C' . A' B' N M}}{V_{C' . A B B' A'}} = \frac{S_{A' B' N M}}{S_{A B B' A'}} = \frac{7}{12}$

$\Rightarrow V_{C' . A' B' N M} = \frac{7}{12} V_{C' . A B B' A'}$

Mà $V_{C' . A B B' A'} = \frac{2}{3} V \Rightarrow V_{C' . A' B' N M} = \frac{7}{12} . \frac{2}{3} V = \frac{7}{18} V$

Vậy $V_{A M D B N E} = V - (V - \frac{7}{18} V) = \frac{7}{18} V$ hay $\frac{V_{A M D B N E}}{V} = \frac{7}{18}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2}$ và g (x) = dx² + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

$a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2} = d x^{2} + e x + 1$

$\Leftrightarrow a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2} = 0 (*)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a (x + 3) (x + 1) (x - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a (x + 3) (x^{2} - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a x^{3} + 3 a x^{2} - a x - 3 a = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\{\begin{cases} 3 a = b - d \\ - a = c - e \\ - 3 a = - \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b - d = \frac{3}{2} \\ c - e = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2})|}_{- 3}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2})|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2} - \frac{{(- 3)}^{4}}{8} - \frac{{(- 3)}^{3}}{2} + \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{3 . (- 3)}{2}$

$- \frac{1^{4}}{8} - \frac{1^{3}}{2} + \frac{1^{2}}{4} + \frac{3 . 1}{2} + \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2}$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{81}{8} + \frac{27}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$ = 4.

Câu 2

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 3, AD = 4. Hãy tính độ lớn của

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$

b) $2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Rightarrow |\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C = 5$

b) Đặt $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}|$

$\Rightarrow T^{2} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2} + 12 \vec{A B} . \vec{A D} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2}$ (Do AB ^ AD)

Þ T² = 4.3² + 9.4² = 180

$\Rightarrow T = 6 \sqrt{5}$

Vậy $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}| = 6 \sqrt{5}$

Câu 3