Câu hỏi:

13/07/2024 437

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SAD là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và CD (tham khảo hình vẽ bên). Tính bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi H là trung điểm của cạnh AB nên SH ^ AB

Mặt khác (SAB) ^ (ABCD) Þ SH ^ (ABCD)

Gọi F là trung điểm của MN, ΔCMN vuông tại C nên F là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔCMN

Qua F kẻ d₁ // SH Þ d₁ ^ (ABCD)

Ta có:

+) $H N = \frac{1}{2} A C = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

$\Rightarrow S N = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + {(\frac{a \sqrt{2}}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

+) $M N = \frac{1}{2} B D = \frac{a \sqrt{2}}{2}$

+) $S M = \sqrt{S H^{2} + H M^{2}} = \sqrt{{(\frac{a \sqrt{3}}{2})}^{2} + a^{2}} = \frac{a \sqrt{7}}{2}$

Suy ra SN² + MN² = SM²

Do đó tam giác SMN vuông tại N

Gọi E là trun điểm của SM, qua E kẻ d₂ ^ (SMN) sao cho d₂ Ç d₁ = I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.CMN.

Dễ thấy ΔHMN vuông cân tại N

$\Rightarrow \{\begin{cases} M N ⊥ H N \\ M N ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow M N ⊥ (S H N) \Rightarrow M N ⊥ S N$

$\Rightarrow (\hat{(S M N); (A B C D)}) = (\hat{S N; H N}) = \hat{S N H}$

Ta có: $\{\begin{cases} d_{1} ⊥ (A B C D) \\ d_{2} ⊥ (S M N) \end{cases}$

$\Rightarrow (\hat{d_{1}; d_{2}}) = (\hat{(S M N); (A B C D)}) = \hat{S N H} = \hat{E I F} < 90 °$

$\Rightarrow \tan \hat{E I F} = \tan \hat{S N H} = \frac{S H}{S N} = \frac{\frac{a \sqrt{3}}{2}}{\frac{a \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$

Có EI ^ (SMN) Þ EI ^ EF

Do đó ∆EIF vuông tại E

$\Rightarrow I E = \frac{E F}{\tan \hat{E I F}} = \frac{S N}{2 \tan \hat{E I F}} = \frac{\frac{a \sqrt{5}}{2}}{2 . \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}} = \frac{a \sqrt{30}}{12}$ .

Xét tam giác vuông SIE có:

$I S = \sqrt{I E^{2} + S E^{2}} = \sqrt{I E^{2} + \frac{S M^{2}}{4}} = \frac{a \sqrt{93}}{12} = R$ .

Vậy bán kính R của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.CMN là: $\frac{a \sqrt{93}}{12}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2}$ và g (x) = dx² + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

$a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2} = d x^{2} + e x + 1$

$\Leftrightarrow a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2} = 0 (*)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a (x + 3) (x + 1) (x - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a (x + 3) (x^{2} - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a x^{3} + 3 a x^{2} - a x - 3 a = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\{\begin{cases} 3 a = b - d \\ - a = c - e \\ - 3 a = - \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b - d = \frac{3}{2} \\ c - e = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2})|}_{- 3}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2})|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2} - \frac{{(- 3)}^{4}}{8} - \frac{{(- 3)}^{3}}{2} + \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{3 . (- 3)}{2}$

$- \frac{1^{4}}{8} - \frac{1^{3}}{2} + \frac{1^{2}}{4} + \frac{3 . 1}{2} + \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2}$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{81}{8} + \frac{27}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$ = 4.

Câu 2

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 3, AD = 4. Hãy tính độ lớn của

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$

b) $2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Rightarrow |\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C = 5$

b) Đặt $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}|$

$\Rightarrow T^{2} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2} + 12 \vec{A B} . \vec{A D} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2}$ (Do AB ^ AD)

Þ T² = 4.3² + 9.4² = 180

$\Rightarrow T = 6 \sqrt{5}$

Vậy $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}| = 6 \sqrt{5}$

Câu 3