Cho hình nón có bán kính đáy bằng 5. Biết rằng khi cắt hình nón cho bởi mặt phẳng qua trục, thiết diện thu được là một tam giác đều. Diện tích toàn phần của hình nón đã cho bằng:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là: 

$a{x}^3+b{x}^2+cx-\frac{1}{2}=d{x}^2+ex+1$

$\iff a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}=0\left(*\right)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a\left(x+3\right)\left(x+1\right)\left(x-1\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

$\iff a\left(x+3\right)\left(x^2-1\right)=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

$\iff a{x}^3+3a{x}^2-ax-3a=a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-\frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\left\{\begin{array}{l}3a=b-d\\ -a=c-e\\ -3a=-\frac{3}{2}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b-d=\frac{3}{2}\\ c-e=-\frac{1}{2}\end{array}\right.$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S=\underset{-3}{\overset{-1}{\int }}\left(\frac{1}{2}{x}^3+\frac{3}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(-\frac{1}{2}{x}^3-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{1}{2}x+\frac{3}{2}\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^4}{8}+\frac{x^3}{2}-\frac{x^2}{4}-\frac{3x}{2}\right)\right|}_{-3}^{-1}+{\left.\left(-\frac{x^4}{8}-\frac{x^3}{2}+\frac{x^2}{4}+\frac{3x}{2}\right)\right|}_{-1}^1$

$=\frac{{\left(-1\right)}^4}{8}+\frac{{\left(-1\right)}^3}{2}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{4}-\frac{3.\left(-1\right)}{2}-\frac{{\left(-3\right)}^4}{8}-\frac{{\left(-3\right)}^3}{2}+\frac{{\left(-3\right)}^2}{4}+\frac{3.\left(-3\right)}{2}$

$-\frac{1^4}{8}-\frac{1^3}{2}+\frac{1^2}{4}+\frac{3.1}{2}+\frac{{\left(-1\right)}^4}{8}+\frac{{\left(-1\right)}^3}{2}-\frac{{\left(-1\right)}^2}{4}-\frac{3.\left(-1\right)}{2}$

$=\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}-\frac{81}{8}+\frac{27}{2}+\frac{9}{4}-\frac{9}{2}-\frac{1}{8}-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{2}+\frac{1}{8}-\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{3}{2}$= 4.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

ax³ + bx² + cx − 2 = dx² + ex + 2

Û ax³ + (b − d)x² + (c − e)x − 4 = 0 (1)

Vì phương trình (1) có các nghiệm −2; −1; 1 nên: 

$\left\{\begin{array}{l}a.{\left(-2\right)}^3+\left(b-d\right).{\left(-2\right)}^2+\left(c-e\right).\left(-2\right)-4=0\\ a.{\left(-1\right)}^3+\left(b-d\right).{\left(-1\right)}^2+\left(c-e\right).\left(-1\right)-4=0\\ a.1^3+\left(b-d\right).1^2+\left(c-e\right).1-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}-8a+4\left(b-d\right)-2\left(c-e\right)-4=0\\ -a+\left(b-d\right)-\left(c-e\right)-4=0\\ a+\left(b-d\right)+\left(c-e\right)-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}3a-3\left(b-d\right)+6=0\\ 2\left(b-d\right)-8=0\\ a+\left(b-d\right)+\left(c-e\right)-4=0\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=b-d-2\\ b-d=4\\ a+\left(b-d\right)+\left(c-e\right)=4\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b-d=4\\ c-e=4-a-\left(b-d\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b-d=4\\ c-e=-2\end{array}\right.$

Diện tích hình phẳng cần tìm là: 

$S=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$

$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left[a{x}^3+\left(b-d\right)x^2+\left(c-e\right)x-4\right]dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[-a{x}^3-\left(b-d\right)x^2-\left(c-e\right)x+4\right]dx$

$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left[2x^3+4x^2-2x-4\right]dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left[-2x^3-4x^2+2x+4\right]dx$

$={\left.\left(\frac{x^4}{2}+\frac{4x^3}{3}-x^2-4x\right)\right|}_{-2}^{-1}+{\left.\left(-\frac{x^4}{2}-\frac{4x^3}{3}+x^2+4x\right)\right|}_{-1}^1$

$=\frac{{\left(-1\right)}^4}{2}+\frac{4.{\left(-1\right)}^3}{3}-{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)-\frac{{\left(-2\right)}^4}{2}-\frac{4.{\left(-2\right)}^3}{3}+{\left(-2\right)}^2-4.\left(-2\right)$

$-\frac{1^4}{2}-\frac{4.1^3}{3}+1^2+4.1+\frac{{\left(-1\right)}^4}{2}+\frac{4.{\left(-1\right)}^3}{3}-{\left(-1\right)}^2-4.\left(-1\right)$

$=\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-1+4-8+\frac{32}{3}+4+8-\frac{1}{2}-\frac{4}{3}+1+4+\frac{1}{2}-\frac{4}{3}-1+4$

$=\frac{37}{6}$