Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD. Đáy là hình chữ nhật tâm O với SO=a3, SC=a5, CAD^=30°. Tính V của hình chóp S.ABCD.

ABCD là hình chữ nhật tâm O suy ra: OA = OB = OC = OD Lại có: SA = SB = SC = SD Suy ra SO ^ (ABCD) Þ SO ^ OC Xét ΔSOC vuông tại O có: SC2 = SO2 + OC2 Þ OC2 = SC2 − SO2 = 5a2 − 3a2 = 2a2 ⇒OC=a2⇒AC=2 . OC=2a2 Ta có: sinCAD^=CDAC⇒CD=AC . sinCAD^=2a2 . sin30°=a2 Lại có: cosCAD^=ADAC⇒AD=AC . cosCAD^=2a2 . cos30°=a6 Suy ra SABCD=AD . CD=a2 . a6=2a23 Vậy thể tích của hình chóp S.ABCD là: VS.ABCD=13SO . SABCD=13 . a3 . 2a23=2a3.

Câu hỏi:

13/07/2024 4,856

Cho hình chóp S.ABCD có SA = SB = SC = SD. Đáy là hình chữ nhật tâm O với $S O = a \sqrt{3}, S C = a \sqrt{5}, \hat{C A D} = 30 °$ . Tính V của hình chóp S.ABCD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

ABCD là hình chữ nhật tâm O suy ra: OA = OB = OC = OD

Lại có: SA = SB = SC = SD

Suy ra SO ^ (ABCD)

Þ SO ^ OC

Xét ΔSOC vuông tại O có: SC² = SO² + OC²

Þ OC² = SC² − SO² = 5a² − 3a² = 2a²

$\Rightarrow O C = a \sqrt{2} \Rightarrow A C = 2 . O C = 2 a \sqrt{2}$

Ta có: $\sin \hat{C A D} = \frac{C D}{A C} \Rightarrow C D = A C . \sin \hat{C A D} = 2 a \sqrt{2} . \sin 30 ° = a \sqrt{2}$

Lại có: $\cos \hat{C A D} = \frac{A D}{A C} \Rightarrow A D = A C . \cos \hat{C A D} = 2 a \sqrt{2} . \cos 30 ° = a \sqrt{6}$

Suy ra $S_{A B C D} = A D . C D = a \sqrt{2} . a \sqrt{6} = 2 a^{2} \sqrt{3}$

Vậy thể tích của hình chóp S.ABCD là:

$V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a \sqrt{3} . 2 a^{2} \sqrt{3} = 2 a^{3}$ .

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2}$ và g (x) = dx² + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

$a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2} = d x^{2} + e x + 1$

$\Leftrightarrow a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2} = 0 (*)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a (x + 3) (x + 1) (x - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a (x + 3) (x^{2} - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a x^{3} + 3 a x^{2} - a x - 3 a = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\{\begin{cases} 3 a = b - d \\ - a = c - e \\ - 3 a = - \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b - d = \frac{3}{2} \\ c - e = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2})|}_{- 3}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2})|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2} - \frac{{(- 3)}^{4}}{8} - \frac{{(- 3)}^{3}}{2} + \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{3 . (- 3)}{2}$

$- \frac{1^{4}}{8} - \frac{1^{3}}{2} + \frac{1^{2}}{4} + \frac{3 . 1}{2} + \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2}$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{81}{8} + \frac{27}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$ = 4.

Câu 2

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 3, AD = 4. Hãy tính độ lớn của

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$

b) $2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Rightarrow |\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C = 5$

b) Đặt $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}|$

$\Rightarrow T^{2} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2} + 12 \vec{A B} . \vec{A D} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2}$ (Do AB ^ AD)

Þ T² = 4.3² + 9.4² = 180

$\Rightarrow T = 6 \sqrt{5}$

Vậy $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}| = 6 \sqrt{5}$

Câu 3