Câu hỏi:

19/08/2025 712

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $S A = \sqrt{11} a$ , côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC); và (SCD) bằng $\frac{1}{10}$ . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi x là độ dài cạnh đáy của chóp đều S.ABCD.

Gọi O = AC Ç BD Þ SO ^ (ABCD)

Ta có: $\{\begin{cases} B D ⊥ A C (g t) \\ B D ⊥ S O (d o S O ⊥ (A B C D)) \end{cases}$

$\Rightarrow B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ S C$

Trong (SBC) kẻ BH ^ SC (H Î SC) có:

• $\{\begin{cases} B H ⊥ S C \\ B D ⊥ S C (c m t) \end{cases} \Rightarrow S C ⊥ (B D H) \Rightarrow S C ⊥ D H$

• $\{\begin{cases} (S B C) \cap (S C D) = S C \\ (S B C) \supset B H ⊥ S C \\ (S B C) \supset D H ⊥ S C \end{cases} \Rightarrow (\hat{(S B C); (S C D)}) = (\hat{B H; D H})$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} \cos \hat{B H D} = \frac{1}{10} \\ \cos \hat{B H D} = - \frac{1}{10} \end{array}$

Ta dễ dàng chứng minh được: ∆BHC = ∆DHC

Þ HB = HD Þ ∆HBD cân tại H

Xét tam giác SBC ta có:

$\cos \hat{C} = \frac{B C^{2} + S C^{2} - S B^{2}}{2 . B C . S C} = \frac{x^{2}}{2 x . \sqrt{11} a} = \frac{x \sqrt{11}}{22 a}$

$\Rightarrow H C = B C . \cos \hat{C} = \frac{x^{2} \sqrt{11}}{22 a}$

$\Rightarrow H B = \sqrt{B C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{x^{2} - \frac{x^{4}}{44 a^{2}}} = \frac{x \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{2 a \sqrt{11}} = H D$

Xét tam giác BDH có:

$\cos \hat{B H D} = \frac{H B^{2} + H D^{2} - B D^{2}}{2 H B . H D} = \frac{2 x^{2} - \frac{x^{4}}{22 a^{2}} - 2 x^{2}}{2 (x^{2} - \frac{x^{4}}{44 a^{2}})}$

$= \frac{2 x^{2} - \frac{x^{4}}{22 a^{2}} - 2 x^{2}}{2 x^{2} - \frac{x^{4}}{22 a^{2}}} = 1 - \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}}$

+) TH1: $\cos \hat{B H D} = \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = \frac{9}{10}$

Û 440x²a² = 396x²a² − 9x⁴

Û 9x⁴ = −44x²a² (vô nghiệm)

+) TH2: $\cos \hat{B H D} = - \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = - \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = \frac{11}{10}$

Û 440x²a² = 484x²a² − 11x⁴

Û 11x⁴ = 44x²a²

Û x² = 4a²

Û x = 2a

$\Rightarrow O A = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} . 2 a \sqrt{2} = a \sqrt{2}$

Xét tam giác vuông SOA có:

$S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{11 a^{2} - 2 a^{2}} = 3 a$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . 3 a . {(2 a)}^{2} = 4 a^{3}$ .

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2}$ và g (x) = dx² + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án

Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị f (x) và g (x) là:

$a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2} = d x^{2} + e x + 1$

$\Leftrightarrow a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2} = 0 (*)$

Do đồ thị của hai hàm số cắt nhau tại ba điểm suy ra phương trình (*) có ba nghiệm là −3; −1; 1.

Ta được $a (x + 3) (x + 1) (x - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a (x + 3) (x^{2} - 1) = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow a x^{3} + 3 a x^{2} - a x - 3 a = a x^{3} + (b - d) x^{2} + (c - e) x - \frac{3}{2}$

Đồng nhất hai vế ta suy ra:

$\{\begin{cases} 3 a = b - d \\ - a = c - e \\ - 3 a = - \frac{3}{2} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b - d = \frac{3}{2} \\ c - e = - \frac{1}{2} \end{cases}$

Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là

$S = \int_{- 3}^{- 1} (\frac{1}{2} x^{3} + \frac{3}{2} x^{2} - \frac{1}{2} x - \frac{3}{2}) d x + \int_{- 1}^{1} (- \frac{1}{2} x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) d x$

$= {(\frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{3}}{2} - \frac{x^{2}}{4} - \frac{3 x}{2})|}_{- 3}^{- 1} + {(- \frac{x^{4}}{8} - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x^{2}}{4} + \frac{3 x}{2})|}_{- 1}^{1}$

$= \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2} - \frac{{(- 3)}^{4}}{8} - \frac{{(- 3)}^{3}}{2} + \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + \frac{3 . (- 3)}{2}$

$- \frac{1^{4}}{8} - \frac{1^{3}}{2} + \frac{1^{2}}{4} + \frac{3 . 1}{2} + \frac{{(- 1)}^{4}}{8} + \frac{{(- 1)}^{3}}{2} - \frac{{(- 1)}^{2}}{4} - \frac{3 . (- 1)}{2}$

$= \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2} - \frac{81}{8} + \frac{27}{2} + \frac{9}{4} - \frac{9}{2} - \frac{1}{8} - \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{3}{2} + \frac{1}{8} - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{3}{2}$ = 4.

Câu 2

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 3, AD = 4. Hãy tính độ lớn của

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$

b) $2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}$

Xem đáp án

Lời giải

a) Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABC vuông tại B có:

$A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5$

$\vec{A B} + \vec{A D} = \vec{A C} \Rightarrow |\vec{A B} + \vec{A D}| = |\vec{A C}| = A C = 5$

b) Đặt $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}|$

$\Rightarrow T^{2} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2} + 12 \vec{A B} . \vec{A D} = 4 A B^{2} + 9 A D^{2}$ (Do AB ^ AD)

Þ T² = 4.3² + 9.4² = 180

$\Rightarrow T = 6 \sqrt{5}$

Vậy $T = |2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}| = 6 \sqrt{5}$

Câu 3