Câu hỏi:

11/07/2024 503

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $S A = \sqrt{11} a$ , côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC); và (SCD) bằng $\frac{1}{10}$ . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Media VietJack

Gọi x là độ dài cạnh đáy của chóp đều S.ABCD.

Gọi O = AC Ç BD Þ SO ^ (ABCD)

Ta có: $\{\begin{cases} B D ⊥ A C (g t) \\ B D ⊥ S O (d o S O ⊥ (A B C D)) \end{cases}$

$\Rightarrow B D ⊥ (S A C) \Rightarrow B D ⊥ S C$

Trong (SBC) kẻ BH ^ SC (H Î SC) có:

• $\{\begin{cases} B H ⊥ S C \\ B D ⊥ S C (c m t) \end{cases} \Rightarrow S C ⊥ (B D H) \Rightarrow S C ⊥ D H$

• $\{\begin{cases} (S B C) \cap (S C D) = S C \\ (S B C) \supset B H ⊥ S C \\ (S B C) \supset D H ⊥ S C \end{cases} \Rightarrow (\hat{(S B C); (S C D)}) = (\hat{B H; D H})$

$\Rightarrow [\begin{array}{l} \cos \hat{B H D} = \frac{1}{10} \\ \cos \hat{B H D} = - \frac{1}{10} \end{array}$

Ta dễ dàng chứng minh được: ∆BHC = ∆DHC

Þ HB = HD Þ ∆HBD cân tại H

Xét tam giác SBC ta có:

$\cos \hat{C} = \frac{B C^{2} + S C^{2} - S B^{2}}{2 . B C . S C} = \frac{x^{2}}{2 x . \sqrt{11} a} = \frac{x \sqrt{11}}{22 a}$

$\Rightarrow H C = B C . \cos \hat{C} = \frac{x^{2} \sqrt{11}}{22 a}$

$\Rightarrow H B = \sqrt{B C^{2} - H C^{2}} = \sqrt{x^{2} - \frac{x^{4}}{44 a^{2}}} = \frac{x \sqrt{a^{2} - x^{2}}}{2 a \sqrt{11}} = H D$

Xét tam giác BDH có:

$\cos \hat{B H D} = \frac{H B^{2} + H D^{2} - B D^{2}}{2 H B . H D} = \frac{2 x^{2} - \frac{x^{4}}{22 a^{2}} - 2 x^{2}}{2 (x^{2} - \frac{x^{4}}{44 a^{2}})}$

$= \frac{2 x^{2} - \frac{x^{4}}{22 a^{2}} - 2 x^{2}}{2 x^{2} - \frac{x^{4}}{22 a^{2}}} = 1 - \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}}$

+) TH1: $\cos \hat{B H D} = \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = \frac{9}{10}$

Û 440x²a² = 396x²a² − 9x⁴

Û 9x⁴ = −44x²a² (vô nghiệm)

+) TH2: $\cos \hat{B H D} = - \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow 1 - \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = - \frac{1}{10}$

$\Leftrightarrow \frac{44 x^{2} a^{2}}{44 x^{2} a^{2} - x^{4}} = \frac{11}{10}$

Û 440x²a² = 484x²a² − 11x⁴

Û 11x⁴ = 44x²a²

Û x² = 4a²

Û x = 2a

$\Rightarrow O A = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} . 2 a \sqrt{2} = a \sqrt{2}$

Xét tam giác vuông SOA có:

$S O = \sqrt{S A^{2} - O A^{2}} = \sqrt{11 a^{2} - 2 a^{2}} = 3 a$ .

Vậy $V_{S . A B C D} = \frac{1}{3} S O . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . 3 a . {(2 a)}^{2} = 4 a^{3}$ .

Nhà sách vietjack

Xem thêm kho sách »

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Bình luận

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1:

Cho hai hàm số $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x - \frac{1}{2}$ và g (x) = dx² + ex + 1 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −3; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án » 13/07/2024 37,366

Câu 2:

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 3, AD = 4. Hãy tính độ lớn của

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$

b) $2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}$

Xem đáp án » 13/07/2024 18,781

Câu 3:

Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau?

Xem đáp án » 13/07/2024 12,961

Câu 4:

Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi cạnh nhau?

Xem đáp án » 13/07/2024 12,735

Câu 5:

Một hộp chưa 35 quả cầu gồm 20 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20 và 15 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 15. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu. Tính xác suất để lấy được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ.

Xem đáp án » 13/07/2024 11,446

Câu 6:

Cho hai hàm số f (x) = ax³ + bx² + cx − 2 và g (x) = dx² + ex + 2 (a, b, c, d, e Î ℝ). Biết rằng đồ thị của hàm số y = f (x) và y = g (x) cắt nhau tại ba điểm có hoành độ lần lượt là −2; −1; 1 (tham khảo hình vẽ). Hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị đã cho có diện tích bằng

Xem đáp án » 13/07/2024 10,813

Câu 7:

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh: $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

b) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .

Xem đáp án » 13/07/2024 9,120

Xem thêm các câu hỏi khác »

Hỏi bài tập

Đăng ký gói thi VIP

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +1 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 1 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +3 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 3 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +6 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 6 tháng

Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

VIP +12 - Luyện thi tất cả các đề có trên Website trong 12 tháng

Siêu tiết kiệm - Được thi tất cả các đề của các lớp có trên Khoahoc.vietjack.com
Ngân hàng câu hỏi trắc nghiệm theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng, Vận dụng cao.
Luyện chuyên sâu, rèn tốc độ với trọn bộ đề thi thử, đề minh họa, chính thức các năm.
Hỏi bài tập với đội ngũ chuyên môn cao của chúng tôi.

Đặt mua

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có SA=11a, côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC); và (SCD) bằng 110. Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Bình luận

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 3, AD = 4. Hãy tính độ lớn của a) AB→+AD→ b) 2AB→+3AD→

Với các chữ số 2, 3, 4, 5, 6, có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau trong đó hai chữ số 2, 3 không đứng cạnh nhau?

Sắp xếp 6 nam sinh và 4 nữ sinh vào một dãy ghế hàng ngang có 10 chỗ ngồi. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp sao cho các nữ sinh luôn ngồi cạnh nhau và các nam sinh luôn ngồi cạnh nhau?

Một hộp chưa 35 quả cầu gồm 20 quả màu đỏ được đánh số từ 1 đến 20 và 15 quả màu xanh được đánh số từ 1 đến 15. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó một quả cầu. Tính xác suất để lấy được quả màu đỏ hoặc ghi số lẻ.

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC a) Chứng minh: MN→=12AB→+DC→ b) Xác định điểm O sao cho OA→+OB→+OC→+OD→=0→.

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có $S A = \sqrt{11} a$ , côsin của góc hợp bởi hai mặt phẳng (SBC); và (SCD) bằng $\frac{1}{10}$ . Tính thể tích của khối chóp S.ABCD.

Cho hình chữ nhật ABCD, AB = 3, AD = 4. Hãy tính độ lớn của

a) $\vec{A B} + \vec{A D}$

b) $2 \vec{A B} + 3 \vec{A D}$

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC

a) Chứng minh: $\vec{M N} = \frac{1}{2} (\vec{A B} + \vec{D C})$

b) Xác định điểm O sao cho $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} + \vec{O D} = \vec{0}$ .