Cho hàm số y= f(x) có đạo hàm liên tục trên khoảng thỏa mãn ${\mathrm{x}}^2\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=0$ và $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\ne 0$, $\forall \mathrm{x}\in \left(0;+\infty \right)$. Tính f(2) biết f(1) = e.

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và f(3)=21, ${\int }_0^{3}f\left(x\right)dx=9$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^1\mathrm{x}.\mathrm{f}\text{'}\left(3\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An đã làm một chiếc mũ “cách điệu” cho Ông già Noel có hình dáng một khối tròn xoay. Mặt cắt qua trục của chiếc mũ như hình vẽ bên. Biết rằng OO' = 5cm,OA = 10cm, OB = 20cm, đường cong AB là một phần của một parabol có đỉnh là điểm A. Thể tích của chiếc mũ bằng

Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thỏa mãn $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{f}\left(2-\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}.{\mathrm{e}}^{{\mathrm{x}}^2}$. Tính tích phân $\mathrm{I}={\int }_0^2\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}$.

Sân vận động Sports Hub (Singapore) là nơi diễn ra lễ khai mạc đại hội thể thao Đông Nam Á được tổ chức ở Singapore năm 2015. Nền sân là một Elip (E) có trục lớn dài 150m , trục bé dài 90m. Nếu cắt sân vận động theo mặt phẳng vuông góc với trục lớn của(E) và cắt (E)  tại M và N(hình a) thì ta được thiết diện luôn là một phần của hình tròn có tâm I( phần tô đậm trong hình b) với MN là dây cung và $\widehat{\mathrm{MIN}}={90}^o$. Để lắp máy điều hòa không khí cho sân vận động thì các kỹ sư cần tính thể tích phần không gian bên dưới mái che và bên trên mặt sân, coi như mặt sân là một mặt phẳng và vật liệu làm mái che không đáng kể. Hỏi thể tích đó xấp xỉ bao nhiêu?

hình a

hình b

Cho hàm số f(x) liên tục trên R và thỏa mãn ${\int }_0^{\mathrm{\pi }/4}\tan x.f\left({\cos }^{2}x\right)dx=2$ và ${\int }_{\mathrm{e}}^{{\mathrm{e}}^2}\frac{f\left({\ln }^{2}x\right)}{x.\ln x}dx=2$. Tính ${\int }_{1/4}^2\frac{f\left(2x\right)}{x}dx$.

Một chi tiết máy được thiết kế như hình vẽ bên.

Các tứ giác ABCD, CDPQ là các hình vuông cạnh 2,5cm. Tứ giác ABEF là hình chữ nhật có BE= 3,5cm. Mặt bên PQFE được mài nhẵn theo đường parabol (P) có đỉnh parabol nằm trên cạnh EF. Thể tích của chi tiết máy bằng

Giả sử hàm số f(x) liên tục, dương trên R; thỏa mãn f(0)=1 và $\mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)$. Khi đó hiệu $\mathrm{T}=\mathrm{f}\left(2\sqrt{2}\right)-2\mathrm{f}\left(1\right)$ thuộc khoảng nào?