Số nghiệm của phương trình \({\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)\) là:
Số nghiệm của phương trình \({\log _3}x = {\log _2}\left( {1 + \sqrt x } \right)\) là:
A. 0
B. 3
C. 1
D. 2.
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án đúng là: C
Điều kiện: x > 0
Đặt \(t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \sqrt x } \right)\) (vì \(1 + \sqrt x > 1 \Rightarrow t = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\left( {1 + \sqrt x } \right) > 0\))
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{1 + \sqrt x = {2^t}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = {3^t}}\\{x = {{\left( {{2^t} - 1} \right)}^2}}\end{array}} \right.} \right.\\ \Rightarrow {3^t} = {\left( {{2^t} - 1} \right)^2} \Leftrightarrow {3^t} = {4^t} - {2.2^t} + 1\end{array}\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} = 1 - 2.{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\\ \Leftrightarrow {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^t} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t} = 1\end{array}\)
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t} + 2 - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}\) trên (0; +∞) có:
\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{4}\\ = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{3}{4} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2} + 2 \cdot {\left( {\frac{1}{4}} \right)^t}{\rm{ln}}\frac{1}{2}\end{array}\)
Mà \({\rm{ln}}\frac{3}{4} < 0,{\rm{ln}}\frac{1}{2} < 0\) nên f’(t) < 0; ∀ t > 0
Do đó hàm số f(t) nghịch biến trên (0; +∞)
Dễ thấy f(2) = 1 nên phương trình f(t) = 1 có nghiệm duy nhất t = 2
Suy ra \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}x = 2 \Leftrightarrow x = 9\)
Vậy ta chọn đáp án C.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{3}{{20}}\)
C. \(\frac{2}{{15}}\)
D. \(\frac{1}{5}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Đánh số thứ tự các ghế như sau: 1; 2; 3; 4; 5; 6
Số cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh vào 6 chiếc ghế là 6! = 720 cách
Suy ra n(Ω) = 720
Gọi A là biến cố: “Học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”
TH1: Học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B, ta coi B-C-B là 1 buộc, có 2 cách xếp 2 học sinh lớp B trong buộc này
Số cách xếp buộc B-C-B vào 6 chiếc ghế là 4 cách (Xếp vào các vị trí 1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6)
Số cách xếp 3 học sinh còn lại là 3! = 6 cách
Suy ra có 2 . 4 . 6 = 48 cách
TH2: Học sinh lớp C ngồi ghế 1 hoặc 6
Suy ra có 2 cách
Ứng với mỗi cách xếp học sinh C có 2 cách chọn 1 học sinh B ngồi ở vị trí 2 hoặc 5.
Xếp 4 học sinh còn lại có 4! = 24 cách
Suy ra có 2 . 2 . 24 = 96 cách
Do đó n(A) = 48 + 96 = 144
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{144}}{{720}} = \frac{1}{5}\)
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 2
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4{\rm{x}} + 6}} = {\log _2}128\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4{\rm{x}} + 6}} = 7\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4{\rm{x}} + 6 = {\log _{\sqrt 5 }}7\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4{\rm{x}} + 6 - {\log _{\sqrt 5 }}7 = 0\)
Ta có \[\Delta = {4^2} - 4.\left( {6 - {{\log }_{\sqrt 5 }}7} \right) > 0\]
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 3
A. \(\frac{1}{{11}}\)
B. \(\frac{1}{{22}}\)
C. \(\frac{5}{{18}}\)
D. \(\frac{{19}}{{66}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[{\rm{R}}\backslash \left\{ { \pm \frac{5}{3}} \right\}\]
B. \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{5}{3}} \right\}\)
D. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. m ≥ 1
B. m ≥ 0
C. m ≠ 0
D. m > 0.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{{12}}{5}a\)
B. 2a
C. \(\frac{3}{2}a\)
D. \(\frac{9}{4}a\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.