Cho tam giác ABC có G là trọng tâm. Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho \(\overrightarrow {BH} = \frac{1}{3}\overrightarrow {HC} \). Điểm M di động trên BC sao cho \(\overrightarrow {BM} = x.\overrightarrow {BC} \). Tìm x sao cho độ dài vectơ \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {GC} } \right|\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Đáp án đúng là: D

Đánh số thứ tự các ghế như sau: 1; 2; 3; 4; 5; 6

Số cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh vào 6 chiếc ghế là 6! = 720 cách 

Suy ra n(Ω) = 720

Gọi A là biến cố: “Học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”

TH1: Học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B, ta coi B-C-B là 1 buộc, có 2 cách xếp 2 học sinh lớp B trong buộc này

Số cách xếp buộc B-C-B vào 6 chiếc ghế là 4 cách (Xếp vào các vị trí 1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6)

Số cách xếp 3 học sinh còn lại là 3! = 6 cách

Suy ra có 2 . 4 . 6 = 48 cách

TH2: Học sinh lớp C ngồi ghế 1 hoặc 6 

Suy ra có 2 cách

Ứng với mỗi cách xếp học sinh C có 2 cách chọn 1 học sinh B ngồi ở vị trí 2 hoặc 5.

Xếp 4 học sinh còn lại có 4! = 24 cách

Suy ra có 2 . 2 . 24 = 96 cách

Do đó n(A) = 48 + 96 = 144

Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{144}}{{720}} = \frac{1}{5}\)

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: C

Ta có: \({\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4{\rm{x}} + 6}} = {\log _2}128\)

\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4{\rm{x}} + 6}} = 7\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4{\rm{x}} + 6 = {\log _{\sqrt 5 }}7\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + 4{\rm{x}} + 6 - {\log _{\sqrt 5 }}7 = 0\)

Ta có \[\Delta = {4^2} - 4.\left( {6 - {{\log }_{\sqrt 5 }}7} \right) > 0\]

Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt

Vậy ta chọn đáp án C.