Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.
Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính diện tích tam giác ABC.
A. \({S_{ABC}} = 3\sqrt 3 \)
B. \({S_{ABC}} = 6\sqrt 3 \)
C. \({S_{ABC}} = 9\sqrt 3 \)
D. \({S_{ABC}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{2}\).
Quảng cáo
Trả lời:

Đáp án đúng là A

Gọi L là giao điểm của BM, CN
Suy ra L là trọng tâm tam giác ABC
Do đó \(BL = \frac{2}{3}BM;NL = \frac{1}{3}CN\)
Gọi độ dài cạnh AB, BC, AC lần lượt là c, a, b
Áp dụng công thức đường trung tuyến ta có:
\(B{M^2} = \frac{{{c^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{b^2}}}{4}\)
\(C{N^2} = \frac{{{b^2} + {a^2}}}{2} - \frac{{{c^2}}}{4}\)
\(B{L^2} = \frac{4}{9}B{M^2} = \frac{{2\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}}{9} - \frac{{{b^2}}}{9}\)
\(N{L^2} = \frac{1}{9}C{N^2} = \frac{{\left( {{b^2} + {a^2}} \right)}}{{18}} - \frac{{{c^2}}}{{36}}\)
Vì tam giác BNL vuông tại L nên theo định lý Pytago có
BN2 = BL2 + NL2
\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}}{9} - \frac{{{b^2}}}{9} + \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{18}} - \frac{{{c^2}}}{{36}}\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{c^2}}}{4} = \frac{{2{a^2}}}{9} + \frac{{2{c^2}}}{9} - \frac{{{b^2}}}{9} + \frac{{{a^2}}}{{18}} + \frac{{{b^2}}}{{18}} - \frac{{{c^2}}}{{36}}\)
\( \Leftrightarrow 0 = \frac{{5{a^2}}}{{18}} + - \frac{{{b^2}}}{{18}} - \frac{{{c^2}}}{{18}}\)
\( \Leftrightarrow 5{{\rm{a}}^2} = {b^2} + {c^2}\)
Áp dụng công thức cos trong tam giác ABC có
\[\begin{array}{l}{{\rm{a}}^2} = {b^2} + {c^2} - 2bcco{\rm{s}}\widehat A = 5{{\rm{a}}^2} - 2bc.cos30^\circ \\ \Leftrightarrow 9 = 45 - \sqrt 3 bc\\ \Leftrightarrow bc = 12\sqrt 3 \end{array}\]
Diện tích tam giác ABC là:
\(S = \frac{1}{2}bc\sin \widehat A = \frac{1}{2}.12\sqrt 3 .\sin 30^\circ = 3\sqrt 3 \)
Vậy ta chọn đáp án A.
Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay
- 250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới) ( 18.000₫ )
- 500 Bài tập tổng ôn môn Toán (Form 2025) ( 38.500₫ )
- Sổ tay lớp 12 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa, KTPL (chương trình mới) ( 36.000₫ )
- Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết) ( 36.000₫ )
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. \(\frac{1}{6}\)
B. \(\frac{3}{{20}}\)
C. \(\frac{2}{{15}}\)
D. \(\frac{1}{5}\).
Lời giải
Đáp án đúng là: D
Đánh số thứ tự các ghế như sau: 1; 2; 3; 4; 5; 6
Số cách xếp ngẫu nhiên 6 học sinh vào 6 chiếc ghế là 6! = 720 cách
Suy ra n(Ω) = 720
Gọi A là biến cố: “Học sinh lớp C chỉ ngồi cạnh học sinh lớp B”
TH1: Học sinh lớp C ngồi giữa 2 học sinh lớp B, ta coi B-C-B là 1 buộc, có 2 cách xếp 2 học sinh lớp B trong buộc này
Số cách xếp buộc B-C-B vào 6 chiếc ghế là 4 cách (Xếp vào các vị trí 1-2-3, 2-3-4, 3-4-5, 4-5-6)
Số cách xếp 3 học sinh còn lại là 3! = 6 cách
Suy ra có 2 . 4 . 6 = 48 cách
TH2: Học sinh lớp C ngồi ghế 1 hoặc 6
Suy ra có 2 cách
Ứng với mỗi cách xếp học sinh C có 2 cách chọn 1 học sinh B ngồi ở vị trí 2 hoặc 5.
Xếp 4 học sinh còn lại có 4! = 24 cách
Suy ra có 2 . 2 . 24 = 96 cách
Do đó n(A) = 48 + 96 = 144
Xác suất cần tìm là \(P\left( A \right) = \frac{{n\left( A \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{{144}}{{720}} = \frac{1}{5}\)
Vậy ta chọn đáp án D.
Câu 2
A. 1
B. 3
C. 2
D. 0.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
Ta có: \({\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4{\rm{x}} + 6}} = {\log _2}128\)
\( \Leftrightarrow {\left( {\sqrt 5 } \right)^{{x^2} + 4{\rm{x}} + 6}} = 7\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4{\rm{x}} + 6 = {\log _{\sqrt 5 }}7\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + 4{\rm{x}} + 6 - {\log _{\sqrt 5 }}7 = 0\)
Ta có \[\Delta = {4^2} - 4.\left( {6 - {{\log }_{\sqrt 5 }}7} \right) > 0\]
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt
Vậy ta chọn đáp án C.
Câu 3
A. \(\frac{1}{{11}}\)
B. \(\frac{1}{{22}}\)
C. \(\frac{5}{{18}}\)
D. \(\frac{{19}}{{66}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \[{\rm{R}}\backslash \left\{ { \pm \frac{5}{3}} \right\}\]
B. \(\left( {\frac{5}{3}; + \infty } \right)\)
C. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{5}{3}} \right\}\)
D. \(\left( { - \frac{1}{2}; + \infty } \right).\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. m ≥ 1
B. m ≥ 0
C. m ≠ 0
D. m > 0.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{{12}}{5}a\)
B. 2a
C. \(\frac{3}{2}a\)
D. \(\frac{9}{4}a\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 199K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.