Trong không gian với hệ tọa Oxyz, cho vectơ \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;4} \right),\overrightarrow b = \left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) cùng phương với vectơ \(\overrightarrow a \). Biết vectơ \(\overrightarrow b \) tạo với tia Oy một góc nhón và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \sqrt {21} \). Giá trị của tổng x₀ + y₀ + z₀ bằng:

Đáp án đúng là: D

Gọi x là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (x ≥ 0).

Gọi y là số đơn vị vitamin A mỗi người tiếp nhận trong một ngày (y ≥ 0).

Một người có thể tiếp nhận được mỗi ngày không quá 600 đơn vị vitamin A và không quá 500 đơn vị vitamin B nên x ≤ 600 và y ≤ 500.

Một người mỗi ngày cần từ 400 đến 1 000 đơn vị vitamin cả A và B nên:

400 ≤ x + y ≤ 1000

Do tác động phối hợp của hai loại vitamin, mỗi ngày, số đơn vị vitamin B không ít hơn \(\frac{1}{2}\) số đơn vị vitamin A nhưng không nhiều hơn ba lần số đơn vị vitamin A nên:

\(\left\{ \begin{array}{l}y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3{\rm{x}}\end{array} \right.\)

Ta có hệ bất phương trình giữa x và y: \(\left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x \le 600\\y \le 500\\x + y \ge 400\\x + y \le 1000\\y \ge \frac{1}{2}x\\y \le 3{\rm{x}}\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình:

− Biểu diễn miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600

+ Vẽ đường thẳng d₁: x = 600 trên mặt phẳng tọa độ Oxy

+ Thay x = 0, y = 0 vào bất phương trình ta được 0 ≤ 600 là mệnh đề đúng nên tọa độ điểm O(0; 0) thỏa mãn bất phương trình x ≤ 600

Vậy miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≤ 600 là nửa mặt phẳng bờ d₁ (kể cả bờ d₁) chứa điểm O.

Tương tự ta biểu diễn các miền nghiệm:

− Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≤ 500: là nửa mặt phẳng bờ d₂ (kể cả bờ d₂: y = 500) chứa điểm O.

− Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≥ 400: là nửa mặt phẳng bờ d₃ (kể cả bờ d₃: x + y = 400) không chứa điểm O.

− Miền nghiệm D₄ của bất phương trình x + y ≤ 1000: là nửa mặt phẳng bờ d₄ (kể cả bờ d₄: x + y = 1000) chứa điểm O.

− Miền nghiệm D₅ của bất phương trình \(y \ge \frac{1}{2}x\): là nửa mặt phẳng bờ d₅ (kể cả bờ d₅: \(y = \frac{1}{2}x\) ) chứa điểm M(0; 50).

− Miền nghiệm D₆ của bất phương trình y ≤ 3x: là nửa mặt phẳng bờ d₆ (kể cả bờ d₆: y = 3x) không chứa điểm M (0; 50).

Ta có đồ thị sau:

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền của đa giác ABCDEF với: \(A\left( {100;300} \right),B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right),C\left( {500;500} \right),D\left( {600;400} \right),E\left( {600;300} \right);F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right)\)

Số tiền trả cho x đơn vị vitamin A và y đơn vị vitamin B là: F(x; y) = 9x + 7,5y

Để có số tiền phải trả là ít nhất thì F(x; y) phải nhỏ nhất

Tại A(100; 300): F = 9.100 + 7,5. 300 = 3150;

Tại \(B\left( {\frac{{500}}{3};500} \right):F = 9.\frac{{500}}{3} + 7,5.500 = 5250\)

Tại C(500; 500): F = 9. 500 + 7,5. 500 = 8250;

Tại D(600, 400): F = 9. 600 + 7,5. 400 = 8400;

Tại E(600, 300): F = 9. 600 + 7,5. 300 = 7650;

Tại \(F\left( {\frac{{800}}{3};\frac{{400}}{3}} \right):F = 9.\frac{{800}}{3} + 7,5.\frac{{400}}{3} = 3400\).

Suy ra F(x; y) nhỏ nhất là 3150 khi x = 100 và y = 300

Do đó mỗi người sẽ dùng 100 đơn vị vitamin A và 300 đơn vị vitamin B để đảm bảo các điều kiện số lượng sử dụng và chi phí phải trả là ít nhất

Vậy ta chọn đáp án D.

Đáp án đúng là: D

Vì độ dài đường tròn là 4π nên 4π = 2π . R

Suy ra R = 2 (cm)

Xét tứ giác ABOC có hai đường chéo AO và BC vuông góc với nhau tại trung điểm M nên ABOC là hình thoi

Suy ra OB = OC = AB

Do đó tam giác ABO đều nên \(\widehat {AOB} = 60^\circ \)

Suy ra \(\widehat {BOC} = 2\widehat {AOB} = 2.60^\circ = 120^\circ \)

Do đó số đo cung lớn BC là 360° – 120° = 240°

Độ dài cung lớn BC là \(l = \frac{{\pi .2.240^\circ }}{{180^\circ }} = \frac{{8\pi }}{3}\) (cm)

Vậy ta chọn đáp án D.