Câu hỏi:
26/09/2023 78
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
\(\frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - \frac{1}{5}C_n^3 + ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}C_n^n = \frac{1}{{156}}\).
Tìm số nguyên dương n thỏa mãn:
\(\frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - \frac{1}{5}C_n^3 + ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}C_n^n = \frac{1}{{156}}\).
Câu hỏi trong đề:
7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!
Sách mới 2k7: Tổng ôn Toán, Lí, Hóa, Văn, Sử, Địa…. kỳ thi tốt nghiệp THPT Quốc gia 2025, đánh giá năng lực (chỉ từ 110k).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét công thức tổng quát:
\(\frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{k + 2}}C_n^k = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}}}{{k + 2}}\,.\,\frac{{n!}}{{k!\,.\,\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}\,.\,\left( {k + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\,.\,\frac{{\left( {n + 2} \right)!}}{{\left( {k + 2} \right)!\,.\,\left( {n - k} \right)!}}\)
\( = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\,.\,{\left( { - 1} \right)^k}\,.\,\left( {k + 1} \right)\,.\,C_{n + 2}^{k + 2}\)
\[ = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\,.\,\left[ {{{\left( { - 1} \right)}^k}\,.\,\left( { - 1} \right)\,.\,C_{n + 2}^{k + 2} + {{\left( { - 1} \right)}^k}\,.\,\left( {k + 2} \right)\,.\,C_{n + 2}^{k + 2}} \right]\]
\[ = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\,.\,\left[ {\left( { - 1} \right)\,.\,{{\left( { - 1} \right)}^{k + 2}}\,.\,C_{n + 2}^{k + 2} + {{\left( { - 1} \right)}^k}\,.\,\left( {n + 2} \right)\,.\,C_{n + 1}^{k + 1}} \right]\]
\[ = - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\,.\,{\left( { - 1} \right)^{k + 2}}\,.\,C_{n + 2}^{k + 2} - \frac{1}{{n + 1}}\,.\,{\left( { - 1} \right)^{k + 1}}\,.\,C_{n + 1}^{k + 1}\]
Khi đó: \(\frac{1}{2}C_n^0 - \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2 - \frac{1}{5}C_n^3 + ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}}}{{n + 2}}C_n^n\)
\( = - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left[ {C_{n + 2}^2 - C_{n + 2}^3 + C_{n + 2}^4 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 2}}C_{n + 2}^{n + 2}} \right]\)
\( - \frac{1}{{n + 1}}\left[ { - C_{n + 1}^1 + C_{n + 1}^2 - C_{n + 1}^3 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^{n + 1}}C_{n + 1}^{n + 1}} \right]\)
\( = - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left[ {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^{n + 2}} - C_{n + 2}^0 + C_{n + 2}^1} \right] - \frac{1}{{n + 1}}\left[ {{{\left( { - 1 + 1} \right)}^{n + 1}} - C_{n + 1}^0} \right]\)
\( = - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\,.\,\left( { - 1 + n + 2} \right) - \frac{1}{{n + 1}}\,.\,\left( { - 1} \right)\)
\( = - \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\,.\,\left( {n + 1} \right) - \frac{1}{{n + 1}}\,.\,\left( { - 1} \right)\)
\( = - \frac{1}{{n + 2}} + \frac{1}{{n + 1}} = \frac{{\left( {n + 2} \right) - \left( {n + 1} \right)}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
\( = \frac{{n + 2 - n - 1}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\)
Do đó, theo bải ra ta có: \(\frac{1}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} = \frac{1}{{156}}\)
Û (n + 1)(n + 2) = 156
Û n2 + 3n + 2 = 156
Û n2 + 3n − 154 = 0
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 11\;\;\;\left( n \right)\\n = - 14\;\left( l \right)\end{array} \right.\]
Vậy n = 11 là số nguyên dương cần tìm.
Nhà sách VIETJACK:
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
Có bao nhiêu cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn, sao cho mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?
Xem đáp án »
11/07/2024
11,799
Câu 3:
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 < 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\) chứa điểm nào sau đây?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 < 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\) chứa điểm nào sau đây?
Xem đáp án »
26/09/2023
6,655
Câu 4:
Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình:
log2 (x2 + 3) − log2 x + x2 − 4x + 1 ≤ 0
Tính tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình:
log2 (x2 + 3) − log2 x + x2 − 4x + 1 ≤ 0
Xem đáp án »
11/07/2024
6,555
Câu 5:
Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100°?
Cho đa giác đều 2018 đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác và có một góc lớn hơn 100°?
Xem đáp án »
11/07/2024
6,235
Câu 6:
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
Diện tích phần hình phẳng gạch chéo trong hình vẽ bên được tính theo công thức nào dưới đây?
Xem đáp án »
26/09/2023
3,727
Câu 7:
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1; 3), B(−2; −2), C(3; 1). Tính cosin góc A của tam giác.
Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A(1; 3), B(−2; −2), C(3; 1). Tính cosin góc A của tam giác.
Xem đáp án »
11/07/2024
3,084
về câu hỏi!