Khi sản xuất vỏ lon sữa bò hình trụ có thể tích là V, các nhà thiết kế luôn đặt mục tiêu sao cho chi phí nguyên liệu làm vỏ lon sữa bò là ít nhất, tức là diện tích toàn phần của hình trụ là nhỏ nhất. Muốn thể tích khối trụ bằng V và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy bằng bao nhiêu?

Gọi H là hình chiếu của A trên BC

Ta có AH ⊥ BC, AH ⊥ BB’ nên AH ⊥ (BCC’B’)

Suy ra HC’ là hình chiếu của AC’ trên mặt phẳng (BCC’B’)

Do đó góc giữa AC’ và mặt phẳng (BCC’B’) là góc \(\widehat {AC'H}\)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \[{{\rm{S}}_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}AH.BC\]

Vì tam giác ABC vuông tại A nên theo định lý Pytago có

\(BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {3{{\rm{a}}^2} + {a^2}} = 2{\rm{a}}\)

Suy ra \(AH = \frac{{AC.AB}}{{BC}} = \frac{{a\sqrt 3 .a}}{{2{\rm{a}}}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Vì tam giác AA’C’ vuông tại A’ nên theo định lý Pytago có

\(AC' = \sqrt {AA{'^2} + A'C{'^2}} = \sqrt {{{\rm{a}}^2} + {a^2}} = \sqrt 2 {\rm{a}}\)

Xét tam giác AC’H có

\[\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} = \frac{{\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}}{{a\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt 6 }}{4}\]

Vậy ta chọn đáp án D.