Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng có tâm lần lượt là O và O’.

a) Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Gọi M, N lần lượt là hai điểm thuộc hai cạnh AF, AD sao cho $AM=\frac{1}{3}AF,$ $AN=\frac{1}{3}AD.$   Chứng minh MN // (DCEF).

Gọi N, P, R lần lượt là trung điểm của AD, SD, SB.

Xét ∆ABD có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AD nên MN là đường trung bình của tam giác. Do đó MN // BD.

Ta có MN // BD và MN ⊂ (MNPR) nên BD // (MNPR)

Tương tự, ta cũng có SA // (MNPR)

Ta thấy (MNPR) đi qua M và song song với BD, và SA nên chính là mp(α).

Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và d // AB // CD.

Khi đó, giả sử MR cắt d tại I, PI cắt SC tại Q.

Lúc này, mặt phẳng (α) là (MNPI).

Ta có MN ⊂ (ABCD), MN ⊂ (MNPI) nên (MNPI) ∩ (ABCD) = MN hay (α) ∩ (ABCD) = MN.

Tương tự, (α) ∩ (SAD) = NP, (α) ∩ (SCD) = PQ, (α) ∩ (SBC) = QR, (α) ∩ (SAB) = MR.

a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC

Ta có MN // BC và BC ⊂ (SBC), suy ra MN // (SBC);

          MN // AD và AD ⊂ (SAD), suy ra MN // (SAD).

Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b) Trong ∆SAB, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB

Mà PM ⊂ (MNP), suy ra SB // (MNP).

c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.

Gọi E là giao điểm của MP và d.

Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)

Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB

Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)

Suy ra ES = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.

Lại có NE ⊂ (MNP), suy ra SC // (MNP).

d) Gọi I là trung điểm của BC.

Do G₁ và G₂ theo thứ tự là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC nên $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{I{G}_2}{IS}=\frac{1}{3}$

Trong ∆SIA, ta có $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{I{G}_2}{IS}=\frac{1}{3},$  suy ra G₁G₂ // SA (định lí Thalès đảo)

Mà SA ⊂ (SAD), nên G₁G₂ // (SAD).