Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh AB, song song với BD và SA. Tìm giao tuyến của mặt phẳng (α) với các mặt của hình chóp.

a) Hình bình hành ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của hai cạnh AB và CD nên MN // AD // BC

Ta có MN // BC và BC ⊂ (SBC), suy ra MN // (SBC);

          MN // AD và AD ⊂ (SAD), suy ra MN // (SAD).

Vậy MN song song với các mặt phẳng (SBC) và (SAD).

b) Trong ∆SAB, có P, M lần lượt là trung điểm của SA, AB nên PM là đường trung bình, suy ra PM // SB

Mà PM ⊂ (MNP), suy ra SB // (MNP).

c) Trong mặt phẳng (SAB) vẽ đường thẳng d đi qua S và song song AB.

Gọi E là giao điểm của MP và d.

Ta có d // AB hay ES // AB, mà AB // CD nên ES // DC, tức là ES // NC (1)

Ta cũng có ES // MB và EM // SB nên MBSE là hình bình hành, suy ra ES = MB

Mà MB = NC (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, DC và AB = DC)

Suy ra ES = NC (2)

Từ (1) và (2) suy ra ESCN là hình bình hành nên SC // NE.

Lại có NE ⊂ (MNP), suy ra SC // (MNP).

d) Gọi I là trung điểm của BC.

Do G₁ và G₂ theo thứ tự là trọng tâm của ∆ABC và ∆SBC nên $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{I{G}_2}{IS}=\frac{1}{3}$

Trong ∆SIA, ta có $\frac{I{G}_1}{IA}=\frac{I{G}_2}{IS}=\frac{1}{3},$  suy ra G₁G₂ // SA (định lí Thalès đảo)

Mà SA ⊂ (SAD), nên G₁G₂ // (SAD).

a) Do O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và ABEF nên O là trung điểm của BD, AC và O’ là trung điểm của BF, AE.

Xét trong ∆BDF có: O, O’ lần lượt là trung điểm của BD, BF nên OO’ là đường trung bình của ∆BDF, suy ra OO’ // DF (1)

Tương tự, trong ∆ACE ta cũng có OO’ // CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra OO’ // DF // CE, mà DF ⊂ (ADF), CE ⊂ (BCE)

Suy ra OO’ song song với các mặt phẳng (ADF) và (BCE).

b) Do  $AM=\frac{1}{3}AF,$  $AN=\frac{1}{3}AD$nên $\frac{AM}{AF}=\frac{AN}{AD}=\frac{1}{3}$

Xét ∆ADF có  $\frac{AM}{AF}=\frac{AN}{AD}$  suy ra MN // DF (định lý Thalès đảo)

Mà DF ⊂ (DCEF), suy ra MN // (DCEF).