Câu hỏi:

19/08/2025 3,268

Cho nửa đường tròn (O). Đường kính AB = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía đối với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm), CE cắt By tại D.

a) Chứng minh \[\widehat {COD} = 90^\circ \].

b) Chứng minh AEB và COD đồng dạng.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Vẽ đường tròn (I) bán kính IC. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho nửa đường tròn (O). Đường kính AB = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax (ảnh 1)

a) Ta có: \[\widehat {AOI} + \widehat {BOI} = 180^\circ \] (2 góc kề bù)

OC là tia phân giác \[\widehat {AOI}\](tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

OD là tia phân giác \[\widehat {BOI}\](tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)

Suy ra: \[\widehat {ECO} = \widehat {OCA};\widehat {EDO} = \widehat {ODB}\]

Xét tam giác ACO và tam giác CEO có:

Chung CO

\[\widehat {ECO} = \widehat {OCA}\]

AC = CE (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Nên: ∆ACO = ∆ECO (c.g.c)

⇒ \[\widehat {COA} = \widehat {COE}\]

Chứng minh tương tự, ta có: ∆DOE = ∆DOB (c.g.c)

⇒ \[\widehat {DOE} = \widehat {DOB}\]

Mà: \[\widehat {DOE} + \widehat {DOB} + \widehat {COA} + \widehat {COE} = 180^\circ \]

⇒ \[2\left( {\widehat {DOE} + \widehat {COE}} \right) = 180^\circ \]

Hay \[\widehat {DOE} + \widehat {COE} = 90^\circ \], tức \[\widehat {DOC} = 90^\circ \]

b) Ta có: \[\widehat {AEB} = \frac{1}{2}\widehat {CEO} + \frac{1}{2}\widehat {DEO} = \frac{1}{2}\widehat {DEC} = 90^\circ \]

\[\widehat {CDO} = \widehat {EBA}\](cùng chắn cung OE)

Xét ∆AEB và ∆COD có:

\[\widehat {CDO} = \widehat {EBA}\]

\[\widehat {COD} = \widehat {AEB} = 90^\circ \]

Suy ra: ∆AEB ~ ∆COD (g.g)

c) I là trung điểm của CD, kẻ IO

Ta có: DB ⊥ AB

AC ⊥ AB

⇒ DB // AC

⇒ CDBA là hình thang

⇒ OI là đường trung bình do nối 2 cạnh bên của hình thang

⇒ OI // AC

Mà AC ⊥ AB nên OI ⊥ AB

Vậy AB là tiếp tuyến của (I;IC)

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi giữa kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho MH = MK.

a, Chứng minh: BHCK là hình bình hành.

b, Chứng minh: BK vuông góc AB.

c, Chứng minh: tâm giác MEF cân.

d, CQ vuông góc BK tại Q. Chứng minh: EF vuông góc EQ.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt (ảnh 1)

a) Xét tứ giác BHCK có:

M là trung điểm của BC (giả thiết).

M là trung điểm của HK (MH = MK).

⇒ BHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) BHCK là hình bình hành (chứng minh trên).

⇒ BK // HC mà HC ⊥ AB (đường cao)

⇒ AB ⊥ BK (từ vuông góc đến song song đảo).

c) M là trung điểm của BC (giả thiết)

⇒ ME là đường trung tuyến của ΔBCE
Mà ΔBCE vuông tại E ⇒ ME = \(\frac{1}{2}BC\)
M là trung điểm của BC (giả thiết).

⇒ MF là đường trung tuyến của ΔBCF
Mà ΔBCF vuông tại F⇒ MF = \(\frac{1}{2}BC\) = ME
⇒ΔMEF cân (hai cạnh bên bằng nhau).

d) Xét tứ giác BFCQ có:

\(\widehat {BFC} = 90^\circ \)(CF ⊥ AB)

\(\widehat {FBQ} = 90^\circ \)(BK ⊥ AB)

\(\widehat {BQC} = 90^\circ \)(CQ ⊥ BK)

⇒ BFCQ là hình chữ nhật

⇒ BC = FQ

⇒ M là trung điểm FQ

⇒ ME là trung tuyến của tam giác EFQ

Suy ra: ME = \(\frac{1}{2}BC\)= \(\frac{1}{2}PQ\)

⇒ Tam giác EFQ vuông tại E

Vậy EF vuông góc EQ.

Câu 2

Biết đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1). Tính giá trị biểu thức T = a³ + b² – 2c.

Xem đáp án

Lời giải

Vì đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 4a + 2b + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - b = 2a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 2b + c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + 1 = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\4a + 2b = 0\\a + b = - 2\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\)

Khi đó T = a³ + b² – 2c = 2³ + (–4)² – 2.1 = 8 + 16 – 2 = 22.

Câu 3