Câu hỏi:
13/07/2024 504Cho đường tròn (O) đường kính AB. Đường thẳng d tiếp xúc với (O) tại A. Gọi I là một điểm cố định trên đoạn thẳng AB. Gọi DE là dây cung thay đổi của (O) luôn đi qua I. Gọi BD, BE cắt d lần lượt tại M, N.
1) Chứng minh rằng tứ giác DENM là tứ giác nội tiếp.
2) Chứng minh rằng tích AM. AN không đổi.
3) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác DENM thuộc một đường thẳng cố định.
Sách mới 2k7: 30 đề thi thử đánh giá năng lực đại học quốc gia Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh 2025 mới nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
1) Ta có: AB là đường kính của (O) nên AD ⊥ BM, AE ⊥ EB
Mà AB ⊥ MN
Nên BD.BM = BA2 = BE. BN
⇒ \(\frac{{BD}}{{BN}} = \frac{{BE}}{{BM}}\)
Mà \(\widehat {DBE} = \widehat {MBN}\)
⇒ ∆BDE ∽ ∆BNM (c.g.c.)
⇒ \(\widehat {BDE} = \widehat {BNM}\)
⇒ MNED nội tiếp
2) Vẽ đường tròn ngoại tiếp ΔBMN, (BMN) ∩ AB = P
⇒ ΔBEI ∽ ΔBPN(g.g)
⇒ \(\frac{{BE}}{{BP}} = \frac{{BI}}{{BN}}\)
⇒ BI.BP = BE.BN = BA2
⇒ BP = \(\frac{{B{A^2}}}{{BI}}\)⇒ P cố định
Mà \(\widehat {PAN} = \widehat {MAB},\widehat {APN} = \widehat {BPN} = \widehat {BMN} = \widehat {BMA}\)
⇒ ΔABM ∽ ΔANP(g.g)
⇒ \(\frac{{AM}}{{AP}} = \frac{{AB}}{{AN}}\)
⇒ AM.AN = AB. AP không đổi
3.Vẽ đường tròn ngoại tiếp DMNE, (DMNE) ∩ AB = C, F (như hình vẽ)
Chứng minh tương tự câu 2 có AF.AC = AM.AN ⇒ AF.AC = AP.AB
Lại có BCF, BDM là cát tuyến tại B với (DMNE)
⇒ BC.BF = BD.BM = BA2
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}BC.BF = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AB - AC} \right)\left( {AB + AF} \right) = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}A{B^2} + AB\left( {AF - AC} \right) - AF.AC = B{A^2}\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB\left( {AF - AC} \right) = AF.AC\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AB\left( {AF - AC} \right) = AP.AB\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AF - AC = AP\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒ \(\left\{ \begin{array}{l}AF = AC + AP\\AF.AC = AP.AB\end{array} \right.\)
⇒\(\left\{ \begin{array}{l}AF = AC + AP\\A{C^2} + AC.AP - AP.AB = 0\end{array} \right.\) ⇒ C cố định
⇒ C, F cố định
⇒ Tâm (DENM) thuộc trung trực của CF cố định.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Bánh xe đạp có bán kính 50cm (kể cả lốp). Một người quay bánh xe 5 vòng quanh trục thì quãng đường đi được là bao nhiêu?
Câu 2:
Biết đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1). Tính giá trị biểu thức T = a3 + b2 – 2c.
Câu 3:
Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – 4 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho 3x1 + 2x2 = 7.
Câu 4:
Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có:
cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosA.cosB.cosC.
Câu 5:
Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ tay bạn đến diều dài 130m và bạn đứng cách nơi diều được thả lên theo phương thẳng đứng là 50m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách mặt đất 1,5m.
Câu 6:
Cho hình thang cân ABCD (AD // BC). Biết AB = 12cm, AC = 16cm, BC = 20 cm. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn. Tính bán kính của đường tròn đó.
Câu 7:
Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho MH = MK.
a, Chứng minh: BHCK là hình bình hành.
b, Chứng minh: BK vuông góc AB.
c, Chứng minh: tâm giác MEF cân.
d, CQ vuông góc BK tại Q. Chứng minh: EF vuông góc EQ.
về câu hỏi!