Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Qua A vẽ đường thẳng d bất kỳ (d không cắt đoạn thẳng BC). Kẻ BH vuông góc với d, CK vuông góc với d (H, C thuộc d).

a) Chứng minh rằng BH = AK.

b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh: ΔBHM = ΔAKM.

c) Chứng minh ΔMHK vuông cân.

a) \(\widehat {BAH} + \widehat {CAK} = 90^\circ \)

\(\widehat {BAH} + \widehat {HBA} = 90^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {CAK} = \widehat {HBA}\)

Xét tam giác vuông HBA và KAC có:

\(\widehat {BHA} = \widehat {AKC} = 90^\circ \)

AB = AC (tam giác ABC vuông cân tại A)

\(\widehat {HBA} = \widehat {CAK}\)

⇒ ∆HBA = ∆KAC (g.c.g)

⇒ BH = AK

b) Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AM là đường phân giác, đường cao

⇒ \(\widehat {BAM} = \widehat {MAC}\); \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\)

\[\widehat {ABC} = \widehat {MAC} = 90^\circ - \widehat {ACB}\]

Vậy \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC} = \widehat {MAC}\)

Mà theo phần a có: \(\widehat {HBA} = \widehat {CAK}\)

⇒ \(\widehat {ABC} + \widehat {HBA} = \widehat {ACB} + \widehat {CAK} = \widehat {MAC} + \widehat {CAK}\)

Hay \(\widehat {HBM} = \widehat {MAK}\)

Xét tam giác BHM và AKM có:

BM = AM = \(\frac{1}{2}BC\)

\(\widehat {HBM} = \widehat {MAK}\)

BH = AK

⇒ ∆BHM = ∆AKM (c.g.c)

c) Theo phần b có: ∆BHM = ∆AKM nên MH = MK (2 cạnh tương ứng) (*)

Xét tam giác MKC và tam giác MHA có:

MH = MK

AH = KC (vì ∆HBA = ∆KAC theo phần a)

MC = MA = \(\frac{1}{2}BC\)

⇒ ∆MKC = ∆MHA (c.c.c)

⇒ \(\widehat {KMC} = \widehat {HMA}\)

Mà \(\widehat {KMC} + \widehat {AMK} = 90^\circ \)(vì AM là đường cao của ABC)

Nên: \(\widehat {HMA} + \widehat {AMK} = 90^\circ \) hay \(\widehat {HMK} = 90^\circ \) (**)

Từ (*) và (**) suy ra: tam giác MHK vuông cân tại M.