Cho A = 2 + 22 + 23 + … + 260. Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 5; 7.

A = (2 + 22) + (23 + 24) +…. + (259 + 260) A = 2(1 + 2) + 23(1 + 2) + … + 259(1 + 2) A = 2.3 + 23.3 + … + 259.3 A = 3.(2 + 23 + … + 259) Vì 3 chia hết cho 3 nên 3.(2 + 23 + … + 259) chia hết cho 3. Vậy A chia hết cho 3. * Xét: A = (2 + 22 + 23 + 24) + (25 + 26 + 27 + 28) +…. + (257 + 258 + 259 + 260) A = 2(1 + 2 + 22 + 23) + 25(1 + 2 + 22 + 23) + … + 257(1 + 2 + 22 + 23) A = 2.15 + 25.15 + …. + 257.15 A = 15.(2 + 25 + … + 257) Vì 15 chia hết cho 5 nên 15.(2 + 25 + … + 257) chia hết cho 5. Vậy A chia hết cho 5. * Lại có: A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) +…. + (258 + 259 + 260) A = 2(1 + 2 + 22) + 24(1 + 2 + 22) + … + 258(1 + 2 + 22) A = 2.7 + 24.7 + … + 258.7 A = 7(2 + 24 + ... + 258) Vì 7 chia hết cho 3 nên 7.(2 + 24 + … + 258) chia hết cho 7. Vậy A chia hết cho 7.

Câu hỏi:

29/01/2024 1,378

Cho A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰. Chứng minh rằng A chia hết cho 3; 5; 7.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

A = (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) +…. + (2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2) + 2³(1 + 2) + … + 2⁵⁹(1 + 2)

A = 2.3 + 2³.3 + … + 2⁵⁹.3

A = 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹)

Vì 3 chia hết cho 3 nên 3.(2 + 2³ + … + 2⁵⁹) chia hết cho 3.

Vậy A chia hết cho 3.

* Xét: A = (2 + 2² + 2³ + 2⁴) + (2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸) +…. + (2⁵⁷ + 2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2² + 2³) + 2⁵(1 + 2 + 2² + 2³) + … + 2⁵⁷(1 + 2 + 2² + 2³)

A = 2.15 + 2⁵.15 + …. + 2⁵⁷.15

A = 15.(2 + 2⁵ + … + 2⁵⁷)

Vì 15 chia hết cho 5 nên 15.(2 + 2⁵ + … + 2⁵⁷) chia hết cho 5.

Vậy A chia hết cho 5.

* Lại có: A = (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) +…. + (2⁵⁸ + 2⁵⁹ + 2⁶⁰)

A = 2(1 + 2 + 2²) + 2⁴(1 + 2 + 2²) + … + 2⁵⁸(1 + 2 + 2²)

A = 2.7 + 2⁴.7 + … + 2⁵⁸.7

A = 7(2 + 2⁴ + ... + 2⁵⁸)

Vì 7 chia hết cho 3 nên 7.(2 + 2⁴ + … + 2⁵⁸) chia hết cho 7.

Vậy A chia hết cho 7.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1). Tính giá trị biểu thức T = a³ + b² – 2c.

Xem đáp án

Lời giải

Vì đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 4a + 2b + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - b = 2a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 2b + c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + 1 = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\4a + 2b = 0\\a + b = - 2\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\)

Khi đó T = a³ + b² – 2c = 2³ + (–4)² – 2.1 = 8 + 16 – 2 = 22.

Câu 2

Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho MH = MK.

a, Chứng minh: BHCK là hình bình hành.

b, Chứng minh: BK vuông góc AB.

c, Chứng minh: tâm giác MEF cân.

d, CQ vuông góc BK tại Q. Chứng minh: EF vuông góc EQ.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt (ảnh 1)

a) Xét tứ giác BHCK có:

M là trung điểm của BC (giả thiết).

M là trung điểm của HK (MH = MK).

⇒ BHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) BHCK là hình bình hành (chứng minh trên).

⇒ BK // HC mà HC ⊥ AB (đường cao)

⇒ AB ⊥ BK (từ vuông góc đến song song đảo).

c) M là trung điểm của BC (giả thiết)

⇒ ME là đường trung tuyến của ΔBCE
Mà ΔBCE vuông tại E ⇒ ME = \(\frac{1}{2}BC\)
M là trung điểm của BC (giả thiết).

⇒ MF là đường trung tuyến của ΔBCF
Mà ΔBCF vuông tại F⇒ MF = \(\frac{1}{2}BC\) = ME
⇒ΔMEF cân (hai cạnh bên bằng nhau).

d) Xét tứ giác BFCQ có:

\(\widehat {BFC} = 90^\circ \)(CF ⊥ AB)

\(\widehat {FBQ} = 90^\circ \)(BK ⊥ AB)

\(\widehat {BQC} = 90^\circ \)(CQ ⊥ BK)

⇒ BFCQ là hình chữ nhật

⇒ BC = FQ

⇒ M là trung điểm FQ

⇒ ME là trung tuyến của tam giác EFQ

Suy ra: ME = \(\frac{1}{2}BC\)= \(\frac{1}{2}PQ\)

⇒ Tam giác EFQ vuông tại E

Vậy EF vuông góc EQ.

Câu 3