Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Gọi I là trung điểm BC.

a) Chứng minh EF = AH.

b) Chứng minh AI vuông góc EF.

c) Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm HC. Chứng minh EMNF là hình thang vuông.

a) Ta có \(\widehat E = \widehat A = \widehat F = 90^\circ \) nên EAFH là hình chữ nhật

Suy ra EF = AH (hai đường chéo của một hình chữ nhật)

b) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AI

Suy ra AI = \(\frac{1}{2}BC\)= BI = IC

⇒ΔIAB cân tại I nên \(\widehat {IAB} = \widehat {IBA}\)(1)

EAFH là hình chữ nhật suy ra EF = AH

Gọi O là giao điểm EF và AH

Suy ra EO = OF = OA = OH hay tam giác EOA cân tại O

Nên \(\widehat {OEA} = \widehat {OAE}\) (2)

Mà \(\widehat {IBA} + \widehat {OAE} = 90^\circ \)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {IAE} + \widehat {OEA} = 90^\circ \) hay AI ⊥ EF

c) Xét tam giác EBH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền

 ⇒ EM = MB = \(\frac{1}{2}BH\)

 ⇒ ΔEMB cân tại M

 ⇒ \(\widehat {MBE} = \widehat {MEB}\)

Mà \(\widehat {MBE} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)(do tam giác ABC vuông tại A)

\(\widehat {ACB} = \widehat {AEO}\)(=\(\widehat {AHO}\))

⇒ \(\widehat {BEM} + \widehat {AEO} = 90^\circ \)

⇒ \(\widehat {MEF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)

Suy ra: ME vuông góc với EF tại E

Chứng minh tương tự: NF vuông góc với EF tại F

Xét tứ giác MEFN có ME ⊥ EF; NF ⊥ EF

Suy ra: ME // NF

 ⇒ MENF là hình thang

Đồng thời \(\widehat {MEF} = \widehat {EFN} = 90^\circ \)

⇒ MEFN là hình thang vuông tại E và F.