Câu hỏi:
13/07/2024 642Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, vẽ HE vuông góc AB, HF vuông góc AC. Gọi I là trung điểm BC.
a) Chứng minh EF = AH.
b) Chứng minh AI vuông góc EF.
c) Gọi M là trung điểm HB, N là trung điểm HC. Chứng minh EMNF là hình thang vuông.
Sách mới 2k7: 30 đề đánh giá năng lực DHQG Hà Nội, Tp. Hồ Chí Minh, BKHN 2025 mới nhất (600 trang - chỉ từ 140k).
Quảng cáo
Trả lời:
a) Ta có \(\widehat E = \widehat A = \widehat F = 90^\circ \) nên EAFH là hình chữ nhật
Suy ra EF = AH (hai đường chéo của một hình chữ nhật)
b) Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AI
Suy ra AI = \(\frac{1}{2}BC\)= BI = IC
⇒ΔIAB cân tại I nên \(\widehat {IAB} = \widehat {IBA}\)(1)
EAFH là hình chữ nhật suy ra EF = AH
Gọi O là giao điểm EF và AH
Suy ra EO = OF = OA = OH hay tam giác EOA cân tại O
Nên \(\widehat {OEA} = \widehat {OAE}\) (2)
Mà \(\widehat {IBA} + \widehat {OAE} = 90^\circ \)
Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\widehat {IAE} + \widehat {OEA} = 90^\circ \) hay AI ⊥ EF
c) Xét tam giác EBH vuông tại E có EM là trung tuyến ứng với cạnh huyền
⇒ EM = MB = \(\frac{1}{2}BH\)
⇒ ΔEMB cân tại M
⇒ \(\widehat {MBE} = \widehat {MEB}\)
Mà \(\widehat {MBE} + \widehat {ACB} = 90^\circ \)(do tam giác ABC vuông tại A)
\(\widehat {ACB} = \widehat {AEO}\)(=\(\widehat {AHO}\))
⇒ \(\widehat {BEM} + \widehat {AEO} = 90^\circ \)
⇒ \(\widehat {MEF} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \)
Suy ra: ME vuông góc với EF tại E
Chứng minh tương tự: NF vuông góc với EF tại F
Xét tứ giác MEFN có ME ⊥ EF; NF ⊥ EF
Suy ra: ME // NF
⇒ MENF là hình thang
Đồng thời \(\widehat {MEF} = \widehat {EFN} = 90^\circ \)
⇒ MEFN là hình thang vuông tại E và F.
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1:
Bánh xe đạp có bán kính 50cm (kể cả lốp). Một người quay bánh xe 5 vòng quanh trục thì quãng đường đi được là bao nhiêu?
Câu 2:
Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho MH = MK.
a, Chứng minh: BHCK là hình bình hành.
b, Chứng minh: BK vuông góc AB.
c, Chứng minh: tâm giác MEF cân.
d, CQ vuông góc BK tại Q. Chứng minh: EF vuông góc EQ.
Câu 3:
Cho tam giác ABC có A(1; 2), B (–3; –1), và C (3; –4). Tìm điều kiện của tham số m để điểm M\(\left( {m;\frac{{m - 5}}{3}} \right)\) nằm bên trong tam giác ABC.
Câu 4:
Biết đồ thị hàm số y = ax2 + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1). Tính giá trị biểu thức T = a3 + b2 – 2c.
Câu 5:
Chứng minh với mọi tam giác ABC ta có:
cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosA.cosB.cosC.
Câu 6:
Cho phương trình: x2 – 2mx + m2 – 4 = 0.
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi giá trị của m.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1; x2 sao cho 3x1 + 2x2 = 7.
Câu 7:
Một bạn học sinh thả diều ngoài đồng, cho biết đoạn dây diều từ tay bạn đến diều dài 130m và bạn đứng cách nơi diều được thả lên theo phương thẳng đứng là 50m. Tính độ cao của con diều so với mặt đất, biết tay bạn học sinh cách mặt đất 1,5m.
Gọi 084 283 45 85
Hỗ trợ đăng ký khóa học tại Vietjack
về câu hỏi!