Câu hỏi:

19/08/2025 11,075

Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với đường chéo AC tại H. Gọi E, F, G theo thứ tự là trung điểm của AH, BH, CD.

a, Chứng minh tứ giác EFCG là hình bình hành.

b, Chứng minh \(\widehat {BEG} = 90^\circ \).

c, Cho biết BH = 4 cm, \(\widehat {BAC} = 30^\circ \). Tính S_ABCD; S_EFCG.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình chữ nhật ABCD. Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với (ảnh 1)

a) Vì E, F theo thứ tự là trung điểm của AH, BH nên EF là đường trung bình trong tam giác ABH

⇒ EF // AB và EF = \(\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}DC = DG\)

Vì AB // DG nên EF // DG

Xét tứ giác EFCG có: EF // DG và EF = DG

Nên EFCG là hình bình hành

b) Lại có: AB ⊥ BC mà EF // AB nên EF ⊥ BC

Mà BF ⊥ AC

Xét trong tam giác BEC có: EF ⊥ BC; BF ⊥ EC nên F là trực tâm của tam giác BEC

Suy ra: CF ⊥ BE (1)

Mà theo phần a có EFCG là hình bình hành nên: EG // CF (2)

Từ (1) và (2): EG ⊥ BE hay \(\widehat {BEG} = 90^\circ \)

c) Sử dụng tỉ số sinA trong tam giác vuông HAB ta có:

\(\sin \widehat A = \frac{{BH}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{4}{{\sin 30^\circ }} = 8cm\)

\(\tan \widehat A = \frac{{BC}}{{AB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)⇒ \(BC = \frac{{8\sqrt 3 }}{3}\)

AC = \(\sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = \frac{{16\sqrt 3 }}{3}\)

Lại có: AB² = AH.AC ⇒ AH = AB² : AC = 4\(\sqrt 3 \)

HC = AC – AH = \(\frac{{16\sqrt 3 }}{3} - 4\sqrt 3 = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)

Mà AE = EH = \(\frac{1}{2}AH = 2\sqrt 3 \)

Suy ra: EC = HC + EH = \(\frac{{4\sqrt 3 }}{3} + 2\sqrt 3 = \frac{{10\sqrt 3 }}{3}\)

Kẻ EM vuông góc với CD tại M

Có \(\widehat {BAC} = \widehat {ACD} = 30^\circ \)(2 góc so le trong)

Ta có: sin\(\widehat {ACD} = \sin 30^\circ = \frac{{EM}}{{EC}}\)

⇒ EM = \(\sin 30^\circ .\frac{{10\sqrt 3 }}{3} = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}\)

S_ABCD = AB.BC = \(8.\frac{{8\sqrt 3 }}{3} = \frac{{64\sqrt 3 }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\)

S_EFCG= EM.EF = EM . \(\frac{1}{2}AB = \frac{{5\sqrt 3 }}{3}.\frac{1}{2}.8 = \frac{{20\sqrt 3 }}{3}\left( {c{m^2}} \right)\).

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của MH lấy điểm K sao cho MH = MK.

a, Chứng minh: BHCK là hình bình hành.

b, Chứng minh: BK vuông góc AB.

c, Chứng minh: tâm giác MEF cân.

d, CQ vuông góc BK tại Q. Chứng minh: EF vuông góc EQ.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác nhọn ABC, AB < AC. Các đường cao BE, CF cắt (ảnh 1)

a) Xét tứ giác BHCK có:

M là trung điểm của BC (giả thiết).

M là trung điểm của HK (MH = MK).

⇒ BHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) BHCK là hình bình hành (chứng minh trên).

⇒ BK // HC mà HC ⊥ AB (đường cao)

⇒ AB ⊥ BK (từ vuông góc đến song song đảo).

c) M là trung điểm của BC (giả thiết)

⇒ ME là đường trung tuyến của ΔBCE
Mà ΔBCE vuông tại E ⇒ ME = \(\frac{1}{2}BC\)
M là trung điểm của BC (giả thiết).

⇒ MF là đường trung tuyến của ΔBCF
Mà ΔBCF vuông tại F⇒ MF = \(\frac{1}{2}BC\) = ME
⇒ΔMEF cân (hai cạnh bên bằng nhau).

d) Xét tứ giác BFCQ có:

\(\widehat {BFC} = 90^\circ \)(CF ⊥ AB)

\(\widehat {FBQ} = 90^\circ \)(BK ⊥ AB)

\(\widehat {BQC} = 90^\circ \)(CQ ⊥ BK)

⇒ BFCQ là hình chữ nhật

⇒ BC = FQ

⇒ M là trung điểm FQ

⇒ ME là trung tuyến của tam giác EFQ

Suy ra: ME = \(\frac{1}{2}BC\)= \(\frac{1}{2}PQ\)

⇒ Tam giác EFQ vuông tại E

Vậy EF vuông góc EQ.

Câu 2

Biết đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1). Tính giá trị biểu thức T = a³ + b² – 2c.

Xem đáp án

Lời giải

Vì đồ thị hàm số y = ax² + bx + c đi qua điểm A(2; 1) và có đỉnh I(1; –1) nên ta có hệ:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 = 4a + 2b + c\\ - \frac{b}{{2a}} = 1\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}4a + 2b + c = 1\\ - b = 2a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l} - 2b + 2b + c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + c = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\ - 2b = 4a\\a + b + 1 = - 1\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\4a + 2b = 0\\a + b = - 2\end{array} \right.\)

⇔ \(\left\{ \begin{array}{l}c = 1\\a = 2\\b = - 4\end{array} \right.\)

Khi đó T = a³ + b² – 2c = 2³ + (–4)² – 2.1 = 8 + 16 – 2 = 22.

Câu 3