Cho tam giác ABC đều cạnh a. Lấy hai điểm M, N thoả mãn \(\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} ,\overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AN} \). Gọi E là giao điểm của AM và CN. Chứng minh EB vuông góc với EC.

Gọi a là độ dài cạnh tam giác đều ABC.

Vì E thuộc CN nên tồn tại x, y sao cho x + y = 1 (1)

Với \(\overrightarrow {BE} = x\overrightarrow {BN} + y\overrightarrow {BC} = \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {BA} + 3y\overrightarrow {BM} = \frac{{2x}}{3}\overrightarrow {BA} + y\overrightarrow {BC} \)

Vì E thuộc AM nên \(\frac{{2x}}{3} + 3y = 1\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(x = \frac{6}{7};y = \frac{1}{7}\)

Vậy \(\overrightarrow {BE} = \frac{4}{7}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{7}\overrightarrow {BC} \)

Mặt khác: \(\overrightarrow {CN} = \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {AN} = \overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CB} } \right) = \frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} \)

Khi đó:

\(\overrightarrow {BE} .\overrightarrow {CN} = \left( {\frac{4}{7}\overrightarrow {BA} + \frac{1}{7}\overrightarrow {BC} } \right)\left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {CA} + \frac{1}{3}\overrightarrow {CB} } \right)\)\( = \frac{8}{{21}}.\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CA} + \frac{4}{{21}}\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {CB} + \frac{2}{{21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CA} + \frac{1}{{21}}\overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CB} \)

= \({a^2}\left[ {\frac{8}{{21}}.\frac{1}{2} + \frac{4}{{21}}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) + \frac{2}{{21}}.\left( { - \frac{1}{2}} \right) - \frac{1}{{21}}} \right] = 0\)

Vậy BE vuông góc CN hay EB vuông góc với EC.