Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH kẻ HE, HF lần lượt vuông góc với AB, AC.

a) Chứng minh \(\frac{{EB}}{{FC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^3}\).

b) Chứng minh BC.BE.CF = AH³.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Áp dụng hệ thức lượng trong các tam giác vuông ABC, AHB, AHC ta có:

AB.AC = BC.AH ⇒ \(BC = \frac{{AB.AC}}{{AH}}\)

* BH² = AB.BE

AB² = BH.BC ⇒ AB⁴ = BH² . BC² = AB.BE.BC²

* CH² = AC.CF

AC² = CH.BC ⇒ AC⁴ = CH² . BC² = AC.CF.BC²

Xét: \(\frac{{A{B^4}}}{{A{C^4}}} = \frac{{AB.BE.B{C^2}}}{{AC.CF.B{C^2}}} = \frac{{AB.BE}}{{AC.CF}}\)

Suy ra: \(\frac{{EB}}{{FC}} = {\left( {\frac{{AB}}{{AC}}} \right)^3}\)

Lại có: BH² = AB.BE ⇒ BE = \(\frac{{B{H^2}}}{{AB}}\)

CH² = AC.CF ⇒ CF = \(\frac{{C{H^2}}}{{AC}}\)

Khi đó: \(BE.CF = \frac{{B{H^2}}}{{AB}}.\frac{{C{H^2}}}{{AC}} = \frac{{A{H^4}}}{{AB.AC}}\)(Vì AH² = BH.CH)

Vậy BC.BE.CF = \(\frac{{AB.AC}}{{AH}}.\frac{{A{H^4}}}{{AB.AC}} = A{H^3}\).2

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Lời giải

Tính được: 270° = \(\frac{{270}}{{180}}\pi = \frac{3}{2}\pi = \frac{3}{4}.2\pi \)

Vậy đu quay được góc 270° khi nó quay được \(\frac{3}{4}\) vòng

Ta có: đu quay quay được 1 vòng trong \(\frac{1}{3}\) phút

Vậy đu quay đu được \(\frac{3}{4}\) vòng trong: \(\frac{3}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{4}\) phút.

Câu 2

Lời giải

Xét ADFC có: \(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = 90^\circ \)(Vì AD ⊥ BC và CF ⊥ AK)

Suy ra: ADFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.

⇒ \(\widehat {DFA} = \widehat {DCA}\)(cùng chắn cung AD) hay \(\widehat {DFA} = \widehat {BCA}\)

Mà \(\widehat {BKA} = \widehat {BCA}\)(góc nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat {DFA} = \widehat {BKA}\)

Mà 2 góc \(\widehat {DFA};\widehat {BKA}\)ở vị trí đồng bị nên DF // BK

Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB

Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).

Lại có: MN ⊥ DF

⇒ EM ⊥ DF

AK là đường kính, BC là đây cung (1)

⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Câu 3