Câu hỏi:

19/08/2025 4,559

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD; \(\widehat D = 70^\circ \). Vẽ BH vuông góc AD (H ∈ AD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm cạnh CD, AB.

a) Chứng minh tứ giác ANMD là hình thoi.

b) Tính góc \(\widehat {HMC}\).

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình bình hành ABCD có AB = 2AD, góc D = 70 độ (ảnh 1)

Ta có:

AB // CD (tính chất hình bình hành)

N là trung điểm của AB nên AN = 1/2 AB

M là trung điểm của CD nên DM = 1/2 CD

Do AB = CD (tính chất hình bình hành) nên AN = DM

Do đó, AN // DM và AN = DM

Từ đó suy ra tứ giác ANMD là hình bình hành có hai cạnh kề bằng nhau, nên là hình thoi.

Ta có:

BH ⊥ AD (theo đề bài)

Gọi I là giao điểm của BH và MN

Ta có BI = HI (tính chất tam giác vuông cân)

Ta có MI = NI (vì M, N là trung điểm của CD, AB)

Do đó, BI = HI = MI = NI

Từ đó suy ra BH và MN giao nhau tại trung điểm I và vuông góc với nhau.

Vậy ta đã chứng minh được tứ giác ANMD là hình thoi.

b) Ta có: MN // DA và DA ⊥ BH

Suy ra: MN ⊥ BH và đi qua trung điểm của BH

Hay MN là đường trung trực của BH

⇒ \(\widehat {{M_1}} = \widehat {{M_2}}\)

Lại có: \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_3}};\widehat {NMC} = \widehat {ADM} = 70^\circ \)

Suy ra: \(\widehat {{M_2}} = \widehat {{M_3}} = 70^\circ :2 = 35^\circ \)

Vậy: \[\widehat {HMC} = 3.35^\circ = 105^\circ \].

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Một đu quay ở công viên có bán kính bằng 10m. Tốc độ của đu quay là 3 vòng/phút. Hỏi mất bao lâu để đu quay quay được góc 270°?

Lời giải

Tính được: 270° = \(\frac{{270}}{{180}}\pi = \frac{3}{2}\pi = \frac{3}{4}.2\pi \)

Vậy đu quay được góc 270° khi nó quay được \(\frac{3}{4}\) vòng

Ta có: đu quay quay được 1 vòng trong \(\frac{1}{3}\) phút

Vậy đu quay đu được \(\frac{3}{4}\) vòng trong: \(\frac{3}{4}.\frac{1}{3} = \frac{1}{4}\) phút.

Câu 2

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác ABC, đường kính AK của đường tròn (O). Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Chứng minh: MN ⊥ DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Lời giải

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O). Kẻ đường cao AD của tam giác (ảnh 1)

Xét ADFC có: \(\widehat {ADC} = \widehat {AFC} = 90^\circ \)(Vì AD ⊥ BC và CF ⊥ AK)

Suy ra: ADFC nội tiếp vì 2 góc cùng nhìn AC dưới 1 góc 90° không đổi.

⇒ \(\widehat {DFA} = \widehat {DCA}\)(cùng chắn cung AD) hay \(\widehat {DFA} = \widehat {BCA}\)

Mà \(\widehat {BKA} = \widehat {BCA}\)(góc nội tiếp)

Suy ra: \(\widehat {DFA} = \widehat {BKA}\)

Mà 2 góc \(\widehat {DFA};\widehat {BKA}\)ở vị trí đồng bị nên DF // BK

Mà BK ⊥ AB nên DF ⊥ AB

Mặt khác MN // AB (MN là đường trung bình của tam giác ABC)

Suy ra: MN ⊥ DF (đpcm).

Lại có: MN ⊥ DF

⇒ EM ⊥ DF

AK là đường kính, BC là đây cung (1)

⇒ AK ⊥ BC hay DM ⊥ DF (2)

Từ (1) và (2) suy ra: M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF.

Câu 3