Tìm số tự nhiên \(\overline {abc} \) biết 1 + 2 + 3 + … + \(\overline {bc} = \overline {abc} \).

1 + 2 + 3 + … + \(\overline {bc} = \overline {abc} \)

⇔ \[\frac{{\overline {bc} .\left( {\overline {bc} + 1} \right)}}{2} = \overline {abc} \]

⇔ \(\overline {bc} \left( {\overline {bc} + 1} \right) = 2\overline {abc} \)

⇔ \(\overline {bc} \left( {\overline {bc} + 1} \right) = 2\left( {\overline {bc} + 100a} \right)\)

⇔ \(\overline {bc} \left( {\overline {bc} + 1} \right) - 2\overline {bc} = 200a\)

⇔ \(\overline {bc} \left( {\overline {bc} - 1} \right) = 200a\)

Vì \(\overline {bc} \left( {\overline {bc} - 1} \right)\) là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên một thừa số là chẵn, một thừa số là lẻ.

Mà 200a = 2.100.a = 4.50.a = 8.25.a = 10.20.a = 20.10.a

Trong các tích trên, thì chỉ có thừa số 25 là thừa số lẻ, suy ra chỉ có a.8.25 là đáp ứng được điều kiện tích của 2 số tự nhiên liên tiếp với a.8 = 24, suy ra a = 3

Thay vào ta có: \(\overline {bc} \left( {\overline {bc} - 1} \right) = 600\)

Mà 600 = 25.24 nên \(\overline {bc} = 25\)

Vậy số cần tìm là 325.