Câu hỏi:

16/02/2024 335

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai trung tuyến AM, BN. Biết AM = 15, BN = 12 và tam giác CMN có diện tích là $15 \sqrt{3}$ . Tính độ dài đoạn thẳng MN.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai trung tuyến AM, BN. Biết AM = 15, BN = 12 và tam giác CMN có diện tích là . Tính độ dài đoạn thẳng MN. (ảnh 1)

$S_{A B C} = \frac{1}{2} . A C . B C . \sin \hat{A C B} S_{C M N} = \frac{1}{2} . C M . C N . \sin \hat{A C B} = \frac{1}{2} . \frac{1}{2} A C . \frac{1}{2} B C . \sin \hat{A C B} = \frac{1}{4} S_{A B C}$

Suy ra: S_ABC = 4S_CMN = $60 \sqrt{3}$

$S_{A B G} = \frac{2}{3} S_{A B M} = \frac{2}{3} . \frac{1}{2} S_{A B C} = \frac{1}{3} .60 \sqrt{3} = 20 \sqrt{3}$

Lại có: $S_{A B G} = \frac{1}{2} . A G . B G . \sin \hat{A G B} = \frac{1}{2} . \frac{2}{3} A M . \frac{2}{3} B N . \sin \hat{A G B} = 40. \sin \hat{A G B}$

⇒ $\sin \hat{A G B} = \frac{20 \sqrt{3}}{40} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Hay: $\hat{A G B} = 60 °$

Ta có: AB² = AG² + GB² – 2.AG.GB.cos $\hat{A G B}$

$= {(\frac{2}{3} .15)}^{2} + (\frac{2}{3} .12) - 2. \frac{2}{3} .15. \frac{2}{3} .12. \cos 60 ° = 84$

⇒ $A B = 2 \sqrt{21}$

M, N là trung điểm BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ACB

Nên $M N = \frac{1}{2} A B = \frac{1}{2} .2 \sqrt{21} = \sqrt{21}$

Vậy $M N = \sqrt{21}$

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh: OA = OB; OC = OD.

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình thang cân ABCD có AB // CD, O là giao điểm của hai đường chéo, E là giao điểm của hai đường thẳng chứa hai cạnh bên AD và BC. Chứng minh: OA = OB; OC = OD. (ảnh 1)

Xét ∆ADC và ∆BCD, ta có:

AD = BC (tính chất hình thang cân)

$\hat{A D C} = \hat{B C D}$ (gt)

DC chung

Do đó: ∆ADC = ∆BCD (c.g.c) ⇒ $\hat{A C D} = \hat{B D C}$

Trong ∆OCD ta có: $\hat{A C D} = \hat{B D C}$

⇒ ∆OCD cân tại O

⇒ OC = OD (1)

AC = BD (tính chất hình thang cân)

⇒ AO + OC = BO + OD (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AO = BO.

Vậy OA = OB; OC = OD.

b) Theo phần a có: OA = OB

∆ADC = ∆BCD (c.g.c)

⇒ ∆EDC cân tại E

⇒ EC = ED nên E thuộc đường trung trực CD

OC = OD nên O thuộc đường trung trực CD

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của CD.

Ta có: BD= AC (tính chất hình thang cân)

⇒ EB + ED = EA + EC mà ED = EC

⇒ EB = EA nên E thuộc đường trung trực AB

OA = OB (chứng minh trên ) nên O thuộc đường trung trực của AB

E ≠ O. Vậy OE là đường trung trực của AB.

Câu 2

Cho dãy số 1, 2, 3, 4, ..., 199, 200; hỏi dãy số có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ?

Xem đáp án

Lời giải

Tổng số hạng của dãy là:

(200 – 1) : 1 + 1 = 200 (số hạng)

Số lẻ bắt đầu từ 1 và kết thúc là 199, mỗi số lẻ cách nhau 2 đơn vị

Số các số lẻ là:

(199 – 1) : 2 + 1 = 100 (số lẻ)

Số các số chẵn là:

200 – 100 = 100 (số chẵn).

Câu 3