Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;+∞, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=fx−x−12x và y = 0 bằng A. 3724...

Đáp án đúng là: C Xét phương trình y=fx−x−12x=0⇔fx=x−12⇔x=12x=2. Khi đó S=∫122fx−x−12xdx=∫122fxxdx−∫122x−2+1xdx=A−B. Tính B=∫122x−2+1xdx=x22−2x+lnx122=−98+2ln2. Tính A=∫122fxxdx=∫122fxdlnx=fxlnx122−∫122f'xlnxdx=54ln2−∫122f'xlnxdx. Xét phương trình f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0⇔f'xlnx−1x2f'1xlnx=5181−1x2lnx. Suy ra ∫122f'xlnxdx+∫122−1x2f'1xlnxdx=518∫1221−1x2lnxdx. Đặt t=1x⇒dt=−1x2dx, ta có x=12⇒t=2, x=2⇒t=12. Khi đó ∫122−1x2f'1xlnxdx=∫212f'tln1tdt=∫122f'tlntdt=∫122f'xlnxdx. Lại có ∫1221−1x2lnxdx=∫122lnxdx+1x=x+1xlnx122−∫122x+1x1xdx=5ln2−3. Suy ra 2∫122f'xlnxdx=5185ln2−3⇔∫122f'xlnxdx=2536ln2−512. Do đó A=54ln2−2536ln2−512=59ln2+512. Vậy S=A−B=59ln2+512+98−2ln2=3724−139ln2.

Câu hỏi:

24/02/2024 1,353

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên $(0; + \infty)$ , có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn $f^{'} (x) - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}), \forall x > 0$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x}$ và y = 0 bằng

A. $\frac{37}{24} - \frac{17}{9} \ln 2$

B. $\frac{37}{24} - \frac{11}{9} \ln 2$

C. $\frac{37}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$

Đáp án chính xác

D. $\frac{31}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 12) !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên (0; dương vô cùng) , có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn (ảnh 2)

Xét phương trình $y = \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x} = 0 \Leftrightarrow f (x) = {(x - 1)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = 2. \end{array}$

Khi đó $S = |\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x} d x| = |\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x - \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2 + \frac{1}{x}) d x| = |A - B|$ .

Tính $B = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2 + \frac{1}{x}) d x = {(\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \ln x)|}_{\frac{1}{2}}^{2} = - \frac{9}{8} + 2 \ln 2$ .

Tính $A = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d (\ln x) = {f (x) \ln x|}_{\frac{1}{2}}^{2} - \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{5}{4} \ln 2 - \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x$ .

Xét phương trình

$f^{'} (x) - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}), \forall x > 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) \ln x - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x$ .

Suy ra $\int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{2} - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x d x = \frac{5}{18} \int_{\frac{1}{2}}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x d x$ .

Đặt $t = \frac{1}{x} \Rightarrow d t = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , ta có $x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 2$ , $x = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ .

Khi đó $\int_{\frac{1}{2}}^{2} - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x d x = \int_{2}^{\frac{1}{2}} f^{'} (t) \ln \frac{1}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (t) \ln t d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x$ .

Lại có

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \ln x d (x + \frac{1}{x}) = {(x + \frac{1}{x}) \ln x|}_{\frac{1}{2}}^{2} - \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x + \frac{1}{x}) \frac{1}{x} d x = 5 \ln 2 - 3$ .

Suy ra $2 \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{5}{18} (5 \ln 2 - 3) \Leftrightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{25}{36} \ln 2 - \frac{5}{12}$ .

Do đó $A = \frac{5}{4} \ln 2 - (\frac{25}{36} \ln 2 - \frac{5}{12}) = \frac{5}{9} \ln 2 + \frac{5}{12}$ .

Vậy $S = |A - B| = |\frac{5}{9} \ln 2 + \frac{5}{12} + \frac{9}{8} - 2 \ln 2| = \frac{37}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$ .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết , giá trị của F912) + G(12) bằng

A. 10

B. 12

C. 6

D. 8

Xem đáp án » 24/02/2024 9,113

Câu 2:

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x$ bằng

A. 4

B. 6

C. 8

D. 2

Xem đáp án » 24/02/2024 7,599

Câu 3:

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

A. $y = \frac{x - 1}{2 x + 1}$

B. $y = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

C. $y = - x^{3} + 3 x + 1$

D. $y = x^{3} + 3 x - 1$

Xem đáp án » 24/02/2024 5,434

Câu 4:

Với mọi a,b dương thỏa mãn $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3$ , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a^{2} + b = 6$

B. $a^{2} b = 9$

C. $a^{2} + b = 8$

D. $a^{2} b = 8$

Xem đáp án » 24/02/2024 4,800

Câu 5:

Cho bất phương trình $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$ có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

A. 3,17

B. 3,27

C. 3,07

D. 3,37

Xem đáp án » 24/02/2024 4,769

Câu 6:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là

A. (4;0)

B. (0;4)

C. (3;0)

D. (0;3)

Xem đáp án » 24/02/2024 4,202

Câu 7:

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

A. (3;1)

B. (0;3)

C. (1;3)

D. (-1;1)

Xem đáp án » 24/02/2024 3,979

Xem thêm các câu hỏi khác »

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết , giá trị của F912) + G(12) bằng

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x$ bằng

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Với mọi a,b dương thỏa mãn $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3$ , khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho bất phương trình $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$ có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;+∞, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=fx−x−12x và y = 0 bằng

Nhà sách VIETJACK:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết , giá trị của F912) + G(12) bằng

Nếu ∫02fxdx=2 thì ∫022f(x)+xdx bằng

Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ?

Với mọi a,b dương thỏa mãn log2a2+log2b=3, khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho bất phương trình log2x−1<log55x−5 có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ. Điểm cực đại của đồ thị hàm số là

Bình luận

🔥 Đề thi HOT:

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x$ bằng

Với mọi a,b dương thỏa mãn $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3$ , khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho bất phương trình $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$ có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị là đường cong như hình vẽ.

Tọa độ giao điểm của đồ thị đã cho và trục tung là

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.

Điểm cực đại của đồ thị hàm số là