Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;+∞, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=fx−x−12x và y = 0 bằng A. 3724...

Đáp án đúng là: C Xét phương trình y=fx−x−12x=0⇔fx=x−12⇔x=12x=2. Khi đó S=∫122fx−x−12xdx=∫122fxxdx−∫122x−2+1xdx=A−B. Tính B=∫122x−2+1xdx=x22−2x+lnx122=−98+2ln2. Tính A=∫122fxxdx=∫122fxdlnx=fxlnx122−∫122f'xlnxdx=54ln2−∫122f'xlnxdx. Xét phương trình f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0⇔f'xlnx−1x2f'1xlnx=5181−1x2lnx. Suy ra ∫122f'xlnxdx+∫122−1x2f'1xlnxdx=518∫1221−1x2lnxdx. Đặt t=1x⇒dt=−1x2dx, ta có x=12⇒t=2, x=2⇒t=12. Khi đó ∫122−1x2f'1xlnxdx=∫212f'tln1tdt=∫122f'tlntdt=∫122f'xlnxdx. Lại có ∫1221−1x2lnxdx=∫122lnxdx+1x=x+1xlnx122−∫122x+1x1xdx=5ln2−3. Suy ra 2∫122f'xlnxdx=5185ln2−3⇔∫122f'xlnxdx=2536ln2−512. Do đó A=54ln2−2536ln2−512=59ln2+512. Vậy S=A−B=59ln2+512+98−2ln2=3724−139ln2.

Câu hỏi:

24/02/2024 1,576

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên $(0; + \infty)$ , có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn $f^{'} (x) - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}), \forall x > 0$ . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y = \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x}$ và y = 0 bằng

A. $\frac{37}{24} - \frac{17}{9} \ln 2$

B. $\frac{37}{24} - \frac{11}{9} \ln 2$

C. $\frac{37}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$

D. $\frac{31}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Ôn thi Tốt nghiệp THPT môn Toán (Đề 12) !!

Bắt đầu thi

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án đúng là: C

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên (0; dương vô cùng) , có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn (ảnh 2)

Xét phương trình $y = \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x} = 0 \Leftrightarrow f (x) = {(x - 1)}^{2} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = \frac{1}{2} \\ x = 2. \end{array}$

Khi đó $S = |\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x) - {(x - 1)}^{2}}{x} d x| = |\int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x - \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2 + \frac{1}{x}) d x| = |A - B|$ .

Tính $B = \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x - 2 + \frac{1}{x}) d x = {(\frac{x^{2}}{2} - 2 x + \ln x)|}_{\frac{1}{2}}^{2} = - \frac{9}{8} + 2 \ln 2$ .

Tính $A = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \frac{f (x)}{x} d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f (x) d (\ln x) = {f (x) \ln x|}_{\frac{1}{2}}^{2} - \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{5}{4} \ln 2 - \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x$ .

Xét phương trình

$f^{'} (x) - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}), \forall x > 0 \Leftrightarrow f^{'} (x) \ln x - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x = \frac{5}{18} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x$ .

Suy ra $\int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x + \int_{\frac{1}{2}}^{2} - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x d x = \frac{5}{18} \int_{\frac{1}{2}}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x d x$ .

Đặt $t = \frac{1}{x} \Rightarrow d t = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , ta có $x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = 2$ , $x = 2 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$ .

Khi đó $\int_{\frac{1}{2}}^{2} - \frac{1}{x^{2}} f^{'} (\frac{1}{x}) \ln x d x = \int_{2}^{\frac{1}{2}} f^{'} (t) \ln \frac{1}{t} d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (t) \ln t d t = \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x$ .

Lại có

$\int_{\frac{1}{2}}^{2} (1 - \frac{1}{x^{2}}) \ln x d x = \int_{\frac{1}{2}}^{2} \ln x d (x + \frac{1}{x}) = {(x + \frac{1}{x}) \ln x|}_{\frac{1}{2}}^{2} - \int_{\frac{1}{2}}^{2} (x + \frac{1}{x}) \frac{1}{x} d x = 5 \ln 2 - 3$ .

Suy ra $2 \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{5}{18} (5 \ln 2 - 3) \Leftrightarrow \int_{\frac{1}{2}}^{2} f^{'} (x) \ln x d x = \frac{25}{36} \ln 2 - \frac{5}{12}$ .

Do đó $A = \frac{5}{4} \ln 2 - (\frac{25}{36} \ln 2 - \frac{5}{12}) = \frac{5}{9} \ln 2 + \frac{5}{12}$ .

Vậy $S = |A - B| = |\frac{5}{9} \ln 2 + \frac{5}{12} + \frac{9}{8} - 2 \ln 2| = \frac{37}{24} - \frac{13}{9} \ln 2$ .

Bình luận

Câu 1:

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x$ bằng

A. 4

B. 6

C. 8

D. 2

Xem đáp án » 24/02/2024 14,762

Câu 2:

Cho phương trình $2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 2$ . Tổng các nghiệm của phương trình bằng

A. $\log_{3} 2$

B. $\log_{2} \frac{3}{2}$

C. $- \log_{2} 3$

D. $\log_{2} 3$

Xem đáp án » 24/02/2024 12,386

Câu 3:

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết , giá trị của F912) + G(12) bằng

A. 10

B. 12

C. 6

D. 8

Xem đáp án » 24/02/2024 10,521

Câu 4:

Với mọi a,b dương thỏa mãn $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3$ , khẳng định nào dưới đây đúng?

A. $a^{2} + b = 6$

B. $a^{2} b = 9$

C. $a^{2} + b = 8$

D. $a^{2} b = 8$

Xem đáp án » 24/02/2024 10,220

Câu 5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, $S A = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}$ .

\

Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

A. $90 °$

B. $30 °$

C. $60 °$

D. $45 °$

Xem đáp án » 24/02/2024 10,121

Câu 6:

Cho bất phương trình $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$ có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

A. 3,17

B. 3,27

C. 3,07

D. 3,37

Xem đáp án » 24/02/2024 9,672

Câu 7:

Một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ kích thước khác nhau và 6 quả màu xanh kích thước khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả từ hộp. Xác suất để 3 quả lấy được đều màu đỏ bằng

A. $\frac{1}{30}$

B. $\frac{2}{5}$

C. $\frac{1}{6}$

D. $\frac{1}{5}$

Xem đáp án » 24/02/2024 7,415

20 Bộ đề, Tổng ôn, sổ tay môn Toán (có đáp án chi tiết)

250+ Công thức giải nhanh môn Toán 12 (chương trình mới)

Bộ đề thi tốt nghiệp 2025 các môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh, Sử, Địa, KTPL (có đáp án chi tiết)

Tổng ôn lớp 12 môn Toán, Lí, Hóa, Văn, Anh, Sinh Sử, Địa, KTPL (Form 2025)

Bình luận

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x$ bằng

Cho phương trình $2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 2$ . Tổng các nghiệm của phương trình bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết , giá trị của F912) + G(12) bằng

Với mọi a,b dương thỏa mãn $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3$ , khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, $S A = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}$ .

\

Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

Cho bất phương trình $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$ có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

Một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ kích thước khác nhau và 6 quả màu xanh kích thước khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả từ hộp. Xác suất để 3 quả lấy được đều màu đỏ bằng

VIP +1 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +3 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 399,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên 0;+∞, có đồ thị như hình vẽ đồng thời thỏa mãn f'x−1x2f'1x=5181−1x2,∀x>0. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=fx−x−12x và y = 0 bằng

Bình luận

Nếu ∫02fxdx=2 thì ∫022f(x)+xdx bằng

Cho phương trình 2x2.3x+1=2. Tổng các nghiệm của phương trình bằng

Cho hàm số f(x) liên tục trên R. Gọi F(x), G(x) là hai nguyên hàm của f(x) trên R thỏa mãn F(8) + G(8) = 4. Cho biết , giá trị của F912) + G(12) bằng

Với mọi a,b dương thỏa mãn log2a2+log2b=3, khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, SA=a32. \ Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

Cho bất phương trình log2x−1<log55x−5 có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?

Một hộp chứa 10 quả bóng gồm 4 quả màu đỏ kích thước khác nhau và 6 quả màu xanh kích thước khác nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 quả từ hộp. Xác suất để 3 quả lấy được đều màu đỏ bằng

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Nếu $\int_{0}^{2} f (x) d x = 2$ thì $\int_{0}^{2} (2 f (x) + x) d x$ bằng

Cho phương trình $2^{x^{2}} {.3}^{x + 1} = 2$ . Tổng các nghiệm của phương trình bằng

Với mọi a,b dương thỏa mãn $\log_{2} a^{2} + \log_{2} b = 3$ , khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với đáy, $S A = \frac{a \sqrt[]{3}}{2}$ .

\

Góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng

Cho bất phương trình $\log_{2}^{} (x - 1) < \log_{5}^{} (5 x - 5)$ có tập nghiệm là S (a;b). Khi đó b - a gần bằng giá trị nào sau đây?