Câu hỏi:

19/08/2025 200

Cho ΔABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G. Chứng minh tam giác ABC cân.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho ΔABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G. Chứng minh tam giác ABC cân. (ảnh 1)

Vì G là giao điểm của hai đường trung tuyến BN và CM của tam giác ABC nên G là trọng tâm tam giác ABC.

Do đó $C G = \frac{2}{3} C M; B G = \frac{2}{3} B N$

Mà CM = BN (giả thiết) nên CG = BG.

Δ∆BGC có CG = BG nên Δ∆BGC cân tại G.

Suy ra $\hat{G B C} = \hat{G C B}$ (tính chất tam giác cân)

Xét Δ∆BMC và Δ∆CNB có:

MC = NB (theo giả thiết),

$\hat{M C B} = \hat{N B C}$ (do $\hat{G B C} = \hat{G C B}$ )

BC là cạnh chung.

Do đó Δ∆BMC = Δ∆CNB (c.g.c).

Suy ra $\hat{M B C} = \hat{N C B}$ (hai góc tương ứng).

Tam giác ABC có $\hat{A B C} = \hat{A C B}$ nên Δ∆ABC cân tại A.

Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.

Hot: Danh sách các trường đã công bố điểm chuẩn Đại học 2025 (mới nhất) (2025). Xem ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC), M là trung điểm của BC. Kẻ ME vuông góc AB (E thuộc AB), kẻ MF vuông góc AC (F thuộc AC ).

a) Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh EF = $\frac{1}{2}$ BC

c) Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Chứng minh rằng tứ giác EKMF là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC), M là trung điểm của BC. Kẻ ME vuông góc AB (ảnh 1)

a. Tứ giác AEFM có 3 góc vuông $(\hat{A}, \hat{E}, \hat{F})$ nên AEFM là hình chữ nhật

b. ΔABC là tam giác vuông tại A, có AM là đường trung tuyến nên AM = MC = MB

ΔCMA là tam giác cân tại M (do MC = MA) nên MF là đường cao cũng là đường trung tuyến

⇒ F là trung điểm AC (1)

ΔBMA là tam giác cân tại M (do MA = MB) nên ME là đường cao cũng là đường trung tuyến
⇒ E là trung điểm AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF là đường trung bình của ΔABC

⇒ EF = $\frac{1}{2}$ BC (đpcm)

c, EF là đường trung bình của ΔABC ⇒ EF // BC

⇒ Tứ giác EKMF là hình thang

ΔAKC vuông tại K có KF là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ KF = FA mà FA = ME (do AEMF là hình chữ nhật)

⇒ KF = ME

⇒ Hình thang EKMF là hình thang cân (đpcm).

Câu 2

Tam giác ABC có BC = 12, CA = 9, AB = 6. Điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 4. Độ dài AM bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

Xét tam giác ABC có: $\cos \hat{B} = \frac{A B^{2} + B C^{2} - A C^{2}}{2. A B . B C} = \frac{11}{16}$

Xét tam giác ABM có: $\cos \hat{B} = \frac{A B^{2} + B M^{2} - A M^{2}}{2. A B . B M} = \frac{11}{16}$

⇔ $\frac{11}{16} = \frac{6^{2} + 4^{2} - A M^{2}}{2.6.4}$

⇔ $A M = \sqrt{19}$

Câu 3