Cho a, b, c thuộc ℕ*: a2 + b2 = c2. Chứng minh abc chia hết cho 60.

Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3 ⇒ a2 ≡ 1 (mod3) và b2 ≡ 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1) ⇒ a2 + b2 ≡ 2 (mod3) nhưng c2 ≡ 1 (mod3) ⇒ mâu thuẫn Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (1) + Tương tự, có ít nhất 1 số chia hết cho 4, vì giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 4 ⇒ a2 ≡ 1 (mod4) và b2 ≡ 1 (mod4) ⇒ a2 + b2 ≡ 2 (mod 4) nhưng c2 ≡ 1 (mod 4) ⇒ mâu thuẫn Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2) + Tương tự a2 = 1 (mod 5) hoặc a2 = -1 (mod 5) hoặc a2 = 4 (mod 5) và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3 ⇒ phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3) Từ (1), (2) và (3) ⇒ abc chia hết cho BCNN(3, 4, 5) = 60 hay abc chia hết 60.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,595

Cho a, b, c thuộc ℕ^*: a² + b² = c². Chứng minh abc chia hết cho 60.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Bắt đầu thi

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Giả sử cả 3 số trên đều không chia hết cho 3

⇒ a² ≡ 1 (mod3) và b² ≡ 1 (mod3) (bình phương 1 số chia hết cho 3 hoặc chia 3 dư 1)

⇒ a² + b² ≡ 2 (mod3) nhưng c²≡ 1 (mod3) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 3 (1)

+ Tương tự, có ít nhất 1 số chia hết cho 4, vì giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 4

⇒ a² ≡ 1 (mod4) và b²≡ 1 (mod4)

⇒ a²+ b² ≡ 2 (mod 4) nhưng c² ≡ 1 (mod 4) ⇒ mâu thuẫn

Vậy có ít nhất 1 số chia hết cho 4 (2)

+ Tương tự a² = 1 (mod 5) hoặc a² = -1 (mod 5) hoặc a² = 4 (mod 5) và -1 + 1 = 0,1 + 4 = 5,-1 + 4 = 3

⇒ phải có ít nhất 1 số chia hết cho 5 (3)

Từ (1), (2) và (3) ⇒ abc chia hết cho BCNN(3, 4, 5) = 60 hay abc chia hết 60.

Hot: 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT các môn, ĐGNL các trường ĐH... file word có đáp án (2025). Tải ngay

Sách thầy cô Vietjack biên soạn:

Xem thêm »

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC), M là trung điểm của BC. Kẻ ME vuông góc AB (E thuộc AB), kẻ MF vuông góc AC (F thuộc AC ).

a) Tứ giác AEMF là hình gì? Vì sao?

b) Chứng minh EF = $\frac{1}{2}$ BC

c) Gọi K là chân đường vuông góc kẻ từ A đến BC. Chứng minh rằng tứ giác EKMF là hình thang cân.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB <AC), M là trung điểm của BC. Kẻ ME vuông góc AB (ảnh 1)

a. Tứ giác AEFM có 3 góc vuông $(\hat{A}, \hat{E}, \hat{F})$ nên AEFM là hình chữ nhật

b. ΔABC là tam giác vuông tại A, có AM là đường trung tuyến nên AM = MC = MB

ΔCMA là tam giác cân tại M (do MC = MA) nên MF là đường cao cũng là đường trung tuyến

⇒ F là trung điểm AC (1)

ΔBMA là tam giác cân tại M (do MA = MB) nên ME là đường cao cũng là đường trung tuyến
⇒ E là trung điểm AB (2)

Từ (1) và (2) suy ra: EF là đường trung bình của ΔABC

⇒ EF = $\frac{1}{2}$ BC (đpcm)

c, EF là đường trung bình của ΔABC ⇒ EF // BC

⇒ Tứ giác EKMF là hình thang

ΔAKC vuông tại K có KF là trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒ KF = FA mà FA = ME (do AEMF là hình chữ nhật)

⇒ KF = ME

⇒ Hình thang EKMF là hình thang cân (đpcm).

Câu 2

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm).

a) Chứng minh: OA vuông góc với BC tại H.

b) Vẽ đường thẳng vuông góc với OB tại O cắt cạnh AC tại E. Chứng minh: ∆OAE là tam giác cân.

c) Trên tia đối của tia BC lấy điểm Q. Vẽ hai tiếp tuyến QM, QN đến (O) (M, N là tiếp tuyến). Chứng minh: 3 điểm A, M, N thẳng hàng.

Xem đáp án

Lời giải

Từ điểm A ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (B, C là các tiếp điểm) (ảnh 1)

a. Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O)
⇒ AO ⊥ BC = H

b. Ta có: OE ⊥ OB

⇒ OE // AB vì AB là tiếp tuyến của (O)

⇒ OB ⊥ AB

⇒ $\hat{C A O} = \hat{O A B} = \hat{A O E}$

⇒ΔOAE cân tại E

c.Ta có : AB,AC là tiếp tuyến của (O)

⇒ OB ⊥ AB mà BC⊥AB = H

⇒ OH.OA = OB² = R²

Tương tự QM, QN là tiếp tuyến của (O)

Gọi QO ∩ MN = D

⇒ OD.OQ = OM² = R² vì OM ⊥ QM

⇒ OH.OA = OD.OQ

⇒ $\frac{O H}{O D} = \frac{O Q}{O A}$

⇒ΔODA ∽ ΔOHQ(c.g.c)

$\Rightarrow \hat{A D O} = \hat{Q H O} \Rightarrow \hat{A D O} = 90 °$

⇒ AD ⊥ OQ

Mà MN ⊥ OQ = D
⇒ A, M, D, N thẳng hàng

Câu 3