Cho hệ phương trình m−1x−my=3m−12x−y=m+5. Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất.

m−1x−my=3m−12x−y=m+5 ⇔ m−1x−m2x−m−5=3m−1y=2x−m−5 ⇔m−1x−2mx+m2+5m=3m−1y=2x−m−5 ⇔ m+1x=m+121y=2x−m−52 Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1 Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra x=m+12m+1=m+1 thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3 Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3) Ta xét S = x2 + y2 = (m + 1)2 + (m – 3)2 = m2 + 2m + 1 + m2 − 6m + 9 = 2m2 – 4m + 10 = 2(m2 – 2m + 1) + 8 = 2(m – 1)2 + 8 Vì (m – 1)2 ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)2 + 8 ≥ 8 Hay S ≥ 8; ∀m. Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM) Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Câu hỏi:

12/07/2024 6,070

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x - m y = 3 m - 1 \\ 2 x - y = m + 5 \end{cases}$ .

Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 7881 câu Trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2023 cực hay có đáp án !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

$\{\begin{cases} (m - 1) x - m y = 3 m - 1 \\ 2 x - y = m + 5 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} (m - 1) x - m (2 x - m - 5) = 3 m - 1 \\ y = 2 x - m - 5 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} (m - 1) x - 2 m x + m^{2} + 5 m = 3 m - 1 \\ y = 2 x - m - 5 \end{cases}$

⇔ $\{\begin{cases} (m + 1) x = {(m + 1)}^{2} (1) \\ y = 2 x - m - 5 (2) \end{cases}$

Để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thì phương trình (2) có nghiệm duy nhất hay m ≠ −1

Khi đó từ phương trình (2) ta suy ra $x = \frac{{(m + 1)}^{2}}{m + 1} = m + 1$ thay x = m + 1 vào phương trình (1) ta được y = 2(m + 1) – m – 5 = m – 3

Vậy với m ≠ −1 thì hệ đã cho có nghiệm duy nhất (x; y) = (m + 1; m – 3)

Ta xét

S = x² + y²

= (m + 1)² + (m – 3)²

= m²+ 2m + 1 + m² − 6m + 9

= 2m²– 4m + 10

= 2(m² – 2m + 1) + 8

= 2(m – 1)² + 8

Vì (m – 1)² ≥0; ∀m ⇒ 2(m – 1)²+ 8 ≥ 8

Hay S ≥ 8; ∀m.

Dấu “=” xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1 (TM)

Vậy m = 1 là giá trị cần tìm.

Đang tải chế độ Học...

Hot: 1000+ đề thi cuối kì 1 lớp 1-12 đầy đủ các môn (Update 2026) (chỉ từ 60k). Tải ngay

ĐẶC QUYỀN VIP

Đăng ký VIP để học và luyện thi không giới hạn

Trọn bộ quyền lợi trên Vietjack, trong một tài khoản.

Phòng luyện thi cấp tốc: ĐGNL - ĐGTD, Tốt nghiệp THPT, Ôn vào 10, Ôn vào 6, Ôn Giữa kì/Cuối kì
Hơn 200K đề thi thử, đề minh hoạ, chính thức các năm
Với 3tr+ câu hỏi theo các mức độ Nhận biết, Thông hiểu, Vận dụng
Tải xuống đề thi [DOCX] với đầy đủ đáp án
Xem hàng ngàn bài giảng đính kèm củng cố thêm kiến thức
Bao gồm tất cả các bậc từ Tiểu học đến Đại học
Chặn hiển thị quảng cáo tăng khả năng tập trung ôn luyện
Đăng ký ngay

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Biết hàm số bậc hai y = ax² + bx + c có đồ thị là một đường parabol đi qua điểm A(-1; 0) và có đỉnh B(1; 2). Khi đó, giá trị biểu thức T = a + b + c bằng bao nhiêu?

Xem đáp án

Lời giải

(P) đi qua A(-1; 0) nên: 0 = a – b + c

⇔ c = b - a (1)

(P) đi qua đỉnh B(1; 2) nên:

2 = a + b + c

Vậy T = a + b + c = 2.

Câu 2

Khai triển đẳng thức (a + b + c)³.

Xem đáp án

Lời giải

(a + b + c)³

= [(a + b) + c]³

= (a + b)³ + c³ + 3(a + b)c(a + b + c)

= a³ + b³ + 3ab(a + b) + c³ + 3(a + b)c(a + b + c)

= a³ + b³ + c³ + 3ab(a + b) + 3(a + b)c(a + b + c)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(ab + ac + bc + c²)

= a³ + b³ + c³ + 3(a + b)(b + c)(c + a).

Câu 3

Khai triển đẳng thức (a + b + c)².

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + m y = 2 \\ m x - 2 y = 1 \end{cases}$ .

Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y là các số nguyên.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có kích thước như hình vẽ. Ở chính giữa mảnh vườn người ta xây 1 cái chòi hình vuông EFGH có cạnh EH = 2m; một lối đi ra chòi hình bình hành DHIK có cạnh DK = 1m.

a) Tính diện tích mảnh vườn hình chữ nhật ABCD.

b) Người ta trồng rau trên mảnh đất hình thang IGCK và trồng hoa trên phần đất còn lại. Tính diện tích lối đi, diện tích trồng rau và diện tích trồng hoa.

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Cho góc $\hat{A O B}$ và góc $\hat{B O C}$ là hai góc kề bù. Biết góc $\hat{B O C}$ bằng năm lần góc $\hat{A O B}$ .

a) Tính số đo mỗi góc.

b) Gọi OD là tia phân giác của góc $\hat{B O C}$ . Tính số đo góc $\hat{A O D}$ .

c) Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC chứa tia OB, OD, vẽ thêm n tia phân biệt (không trùng với các tia OA; OB; OC; OD đã cho) thì có tất cả bao nhiêu góc?

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Cho chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O. Lấy N, M lần lượt thuộc SA, SB sao cho $B M = \frac{1}{4} B S, S N = \frac{3}{4} S A$ . Tìm giao tuyến của:

a) (OMN) và (SAB).

b) (OMN) và (SAD).

c) (OMN) và (SBC).

d) (OMN) và (SCD).

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} (m - 1) x - m y = 3 m - 1 \\ 2 x - y = m + 5 \end{cases}$ .

Tìm m để có nghiệm duy nhất (x; y) sao cho biểu thức S = x² + y² đạt giá trị nhỏ nhất.

Biết hàm số bậc hai y = ax² + bx + c có đồ thị là một đường parabol đi qua điểm A(-1; 0) và có đỉnh B(1; 2). Khi đó, giá trị biểu thức T = a + b + c bằng bao nhiêu?

Khai triển đẳng thức (a + b + c)³.

Khai triển đẳng thức (a + b + c)².

Cho hệ phương trình $\{\begin{cases} x + m y = 2 \\ m x - 2 y = 1 \end{cases}$ .

Tìm các số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y là các số nguyên.