Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, $\widehat{A}=60°.$  Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của AI.

a) Tứ giác ABEF là hình gì? Vì sao?

b) Tính $\widehat{AED}.$

a) Do tứ giác ABCD  là hình bình hành nên $AD=BC,AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC$ .

Vì $AD=BC,$$BE=\frac{1}{2}BC$ và $AF=\frac{1}{2}AD$  (do F là trung điểm của $AD)$  nên $BE=AF.$

Tứ giác ABEF  có BE = AF  và $BE\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}AF$  (vì $AD\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}BC)$

Suy ra, tứ giác ABEF  là hình bình hành.

Do E  là trung điểm của BC  nên $BE=\frac{1}{2}BC$  hay $BC=2BE.$

Vì $BC=2AB$  và $BC=2BE$  nên $AB=BE$ .

Hình bình hành ABEF  có AB = BE  nên ABEF  là hình thoi.

b) Vì tứ giác ABCD  là hình bình hành nên $AB=CD,AB\text{\hspace{0.17em}//\hspace{0.17em}}CD$ .

Vì $AB=CD$  và $AB=BI$  (do B  là trung điểm của AI)  nên BI = CD .

Tứ giác BICD  có BI // CD  (vì AB // CD )  và BI = CD  nên tứ giác BICD  là hình bình hành.

Ta thấy BD  vừa là đường trung tuyến vừa là đường phân giác của tam giác ADI  nên tam giác ADI  cân tại D .

Suy ra BD  cũng là đường cao của tam giác ADI  nên $BD\perp BI$  hay $\widehat{DBI}=90°.$

Hình bình hành BICD  có $\widehat{DBI}=90°$  nên tứ giác BICD  là hình chữ nhật.

Khi đó, E  là trung điểm của hai đường chéo BC  và DI .

Tam giác ADI  cân tại D  có $\widehat{DAI}=60°$  nên tam giác ADI  là tam giác đều.

$\Delta ADI$ là tam giác đều có AE  là đường trung tuyến nên đồng thời là đường cao.

Do đó, $AE\perp DI$  hay $\widehat{AED}=90°$ .