Cho 1x+1y+1z=1x+y+z. Chứng minh rằng: 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023.

Theo giả thiết, 1x+1y+1z=1x+y+z. Suy ra yz+xz+xyxyz=1x+y+z. yz+xz+xyx+y+z=xyz yzx+y+z+xzx+y+z+xyx+y+z=xyz xyz+y2z+yz2+x2z+xyz+xz2+x2y+xy2+xyz=xyz x2z+2xyz+y2z+yz2+xz2+x2y+xy2=0 zx+y2+z2x+y+xyx+y=0 x+yzx+y+z2+xy=0 x+yxz+yz+z2+xy=0 x+yxz+xy+yz+z2=0 x+yxy+z+zy+z=0 x+yy+zx+z=0 Suy ra x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc x+z=0. ⦁ Nếu x+y=0 thì x=−y, khi đó x2023=−y2023. Ta có 1x2023+1y2023+1z2023=1−y2023+1y2023+1z2023=1z2023; 1x2023+y2023+z2023=1−y2023+y2023+z2023=1z2023. Do đó 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023. ⦁ Nếu y+z=0 hoặc x+z=0, chứng minh tương tự ta cũng có 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023. Vậy nếu 1x+1y+1z=1x+y+z thì 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023.

Câu hỏi:

12/07/2024 3,473

Cho $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z} .$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 CD có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo giả thiết, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z} .$

Suy ra $\frac{y z + x z + x y}{x y z} = \frac{1}{x + y + z} .$

$(y z + x z + x y) (x + y + z) = x y z$

$y z (x + y + z) + x z (x + y + z) + x y (x + y + z) = x y z$

$x y z + y^{2} z + y z^{2} + x^{2} z + x y z + x z^{2} + x^{2} y + x y^{2} + x y z = x y z$

$(x^{2} z + 2 x y z + y^{2} z) + (y z^{2} + x z^{2}) + (x^{2} y + x y^{2}) = 0$

$z {(x + y)}^{2} + z^{2} (x + y) + x y (x + y) = 0$

$(x + y) [z (x + y) + z^{2} + x y] = 0$

$(x + y) (x z + y z + z^{2} + x y) = 0$

$(x + y) [(x z + x y) + (y z + z^{2})] = 0$

$(x + y) [x (y + z) + z (y + z)] = 0$

$(x + y) (y + z) (x + z) = 0$

Suy ra $x + y = 0$ hoặc $y + z = 0$ hoặc $x + z = 0.$

⦁ Nếu $x + y = 0$ thì $x = - y,$ khi đó $x^{2023} = - y^{2023} .$

Ta có $\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{- y^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{z^{2023}};$

$\frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} = \frac{1}{- y^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} = \frac{1}{z^{2023}} .$

Do đó $\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

⦁ Nếu $y + z = 0$ hoặc $x + z = 0,$ chứng minh tương tự ta cũng có

$\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

Vậy nếu

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z}

thì

\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .

Bình luận

Câu 1:

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, $\hat{A} = 60 ° .$ Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của AI.

a) Tứ giác ABEF là hình gì? Vì sao?

b) Tính $\hat{A E D} .$

Xem đáp án » 12/07/2024 22,723

Câu 2:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = 5 cm và độ dài trung đoạn SI = 6 cm (hình vẽ bên). Tính:

a) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC
b) Thể tích của hình chóp S.ABC, biết chiều cao SO của hình chóp là 5,8 cm

Xem đáp án » 12/07/2024 12,579

Câu 3:

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A

Xem đáp án » 12/07/2024 5,348

Câu 4:

Cho đường thẳng y = ax + b Với giá trị a thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox là góc nhọn?

A. $a < 0.$

B. $a = 0.$

C. $a > 0.$

D. $a \neq 0.$

Xem đáp án » 07/03/2024 4,863

Câu 5:

Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của một hình chóp tam giác đều là

A. 4.

B. 6.

C. 8.

D. 10.

Xem đáp án » 07/03/2024 772

Câu 6:

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài trung đoạn là a, diện tích xung quanh là $S_{x q}$ thì có độ dài cạnh đáy là

A. $\frac{S_{x q}}{a} .$

B. $\frac{2 S_{x q}}{a} .$

C. $\frac{S_{x q}}{2 a} .$

D. $\frac{S_{x q}}{4 a} .$

Xem đáp án » 07/03/2024 600

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z} .$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, $\hat{A} = 60 ° .$ Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của AI.

a) Tứ giác ABEF là hình gì? Vì sao?

b) Tính $\hat{A E D} .$

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A

Cho đường thẳng y = ax + b Với giá trị a thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox là góc nhọn?

Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của một hình chóp tam giác đều là

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài trung đoạn là a, diện tích xung quanh là $S_{x q}$ thì có độ dài cạnh đáy là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

Cho 1x+1y+1z=1x+y+z. Chứng minh rằng: 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023.

Nhà sách VIETJACK:

Bình luận

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, A ^=60°. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của AI. a) Tứ giác ABEF là hình gì? Vì sao? b) Tính AED^.

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A

Cho đường thẳng y = ax + b Với giá trị a thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox là góc nhọn?

Tổng số cạnh bên và cạnh đáy của một hình chóp tam giác đều là

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài trung đoạn là a, diện tích xung quanh là Sxq thì có độ dài cạnh đáy là

VIP +3 tháng ( 199,000 VNĐ )

VIP +6 tháng ( 299,000 VNĐ )

VIP +12 tháng ( 499,000 VNĐ )

🔥 Đề thi HOT:

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Cho $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z} .$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

Cho hình bình hành ABCD có BC = 2AB, $\hat{A} = 60 ° .$ Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Trên tia AB lấy điểm I sao cho B là trung điểm của AI.

a) Tứ giác ABEF là hình gì? Vì sao?

b) Tính $\hat{A E D} .$

Một hình chóp tứ giác đều có độ dài trung đoạn là a, diện tích xung quanh là $S_{x q}$ thì có độ dài cạnh đáy là