Cho 1x+1y+1z=1x+y+z. Chứng minh rằng: 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023.

Theo giả thiết, 1x+1y+1z=1x+y+z. Suy ra yz+xz+xyxyz=1x+y+z. yz+xz+xyx+y+z=xyz yzx+y+z+xzx+y+z+xyx+y+z=xyz xyz+y2z+yz2+x2z+xyz+xz2+x2y+xy2+xyz=xyz x2z+2xyz+y2z+yz2+xz2+x2y+xy2=0 zx+y2+z2x+y+xyx+y=0 x+yzx+y+z2+xy=0 x+yxz+yz+z2+xy=0 x+yxz+xy+yz+z2=0 x+yxy+z+zy+z=0 x+yy+zx+z=0 Suy ra x+y=0 hoặc y+z=0 hoặc x+z=0. ⦁ Nếu x+y=0 thì x=−y, khi đó x2023=−y2023. Ta có 1x2023+1y2023+1z2023=1−y2023+1y2023+1z2023=1z2023; 1x2023+y2023+z2023=1−y2023+y2023+z2023=1z2023. Do đó 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023. ⦁ Nếu y+z=0 hoặc x+z=0, chứng minh tương tự ta cũng có 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023. Vậy nếu 1x+1y+1z=1x+y+z thì 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023.

Câu hỏi:

07/03/2024 77

Cho $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z} .$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Đề kiểm tra Cuối kì 1 Toán 8 CD có đáp án !!

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Theo giả thiết, $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z} .$

Suy ra $\frac{y z + x z + x y}{x y z} = \frac{1}{x + y + z} .$

$(y z + x z + x y) (x + y + z) = x y z$

$y z (x + y + z) + x z (x + y + z) + x y (x + y + z) = x y z$

$x y z + y^{2} z + y z^{2} + x^{2} z + x y z + x z^{2} + x^{2} y + x y^{2} + x y z = x y z$

$(x^{2} z + 2 x y z + y^{2} z) + (y z^{2} + x z^{2}) + (x^{2} y + x y^{2}) = 0$

$z {(x + y)}^{2} + z^{2} (x + y) + x y (x + y) = 0$

$(x + y) [z (x + y) + z^{2} + x y] = 0$

$(x + y) (x z + y z + z^{2} + x y) = 0$

$(x + y) [(x z + x y) + (y z + z^{2})] = 0$

$(x + y) [x (y + z) + z (y + z)] = 0$

$(x + y) (y + z) (x + z) = 0$

Suy ra $x + y = 0$ hoặc $y + z = 0$ hoặc $x + z = 0.$

⦁ Nếu $x + y = 0$ thì $x = - y,$ khi đó $x^{2023} = - y^{2023} .$

Ta có $\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{- y^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{z^{2023}};$

$\frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} = \frac{1}{- y^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} = \frac{1}{z^{2023}} .$

Do đó $\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

⦁ Nếu $y + z = 0$ hoặc $x + z = 0,$ chứng minh tương tự ta cũng có

$\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$

Vậy nếu

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z}

thì

\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .

Bình luận hoặc Báo cáo
về câu hỏi!

Câu 1:

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy AB = 5 cm và độ dài trung đoạn SI = 6 cm (hình vẽ bên). Tính:

a) Diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình chóp S.ABC
b) Thể tích của hình chóp S.ABC, biết chiều cao SO của hình chóp là 5,8 cm

Xem đáp án » 07/03/2024 1,623

Câu 2:

Cho đường thẳng y = ax + b Với giá trị a thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox là góc nhọn?

A. $a < 0.$

B. $a = 0.$

C. $a > 0.$

D. $a \neq 0.$

Xem đáp án » 07/03/2024 1,085

Câu 3:

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A

Xem đáp án » 07/03/2024 182

Câu 4:

Biểu thức nào sau đây là phân thức?

A. $\frac{x}{0} .$

B. $\frac{x + y}{\frac{1}{y}} .$

C. $\frac{x^{2} + y}{\frac{1}{2} y} .$

D. $\frac{1}{\frac{x^{2} - y^{2}}{x y}} .$

Xem đáp án » 07/03/2024 86

Câu 5:

Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

A. $y = 2 x - 1.$

B. $y = 2.$

C. $y = x^{2} + x + 1.$

D. $y = \frac{2}{x} .$

Xem đáp án » 07/03/2024 76

Câu 6:

Điểm M trên mặt phẳng tọa độ Oxy (hình bên) có tọa độ là

A. (-1;1)

B. (-2;1)

C. (1;-1)

D. (1;-2)

Xem đáp án » 07/03/2024 56

Xem thêm các câu hỏi khác »

Cho 1x+1y+1z=1x+y+z. Chứng minh rằng: 1x2023+1y2023+1z2023=1x2023+y2023+z2023.

Cho đường thẳng y = ax + b Với giá trị a thỏa mãn điều kiện nào sau đây thì góc tạo bởi đường thẳng đó với trục Ox là góc nhọn?

a) Viết điều kiện xác định của biểu thức A

Biểu thức nào sau đây là phân thức?

Hàm số nào sau đây là hàm số bậc nhất?

Điểm M trên mặt phẳng tọa độ Oxy (hình bên) có tọa độ là

Bình luận

ĐỀ THI LIÊN QUAN

CHỌN BỘ SÁCH BẠN MUỐN XEM

Đăng ký

Đăng nhập

Quên mật khẩu

Số điện thoại hiện tại của bạn có vẻ không hợp lệ, vui lòng cập nhật số mới để hể thống kiểm tra lại!

Cho $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x + y + z} .$ Chứng minh rằng:

$\frac{1}{x^{2023}} + \frac{1}{y^{2023}} + \frac{1}{z^{2023}} = \frac{1}{x^{2023} + y^{2023} + z^{2023}} .$