Một người quan sát đặt mắt ở vị trí A có độ cao cách mực nước biển là AB = 5 m. Cắt bề mặt Trái Đất bởi một mặt phẳng đi qua điểm A và tâm Trái Đất thì phần chung giữa chúng là một đường tròn lớn tâm O. Tầm quan sát tối đa từ vị trí A là đoạn thẳng AC, trong đó C là tiếp điểm của tiếp tuyến đi qua A với đường tròn (O) (minh họa như Hình 42). Tính độ dài của đoạn thẳng AC (theo đơn vị kilômét và làm tròn kết quả đến hàng phần mười), biết bán kính Trái Đất là OB = OC ≈ 6 400 km.

(Nguồn: Toán 9 – Tập một, NXB Giáo dục Việt Nam, năm 2017)

a) Vì DA, DC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại D nên DA = DC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Vì EB, EC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại E nên EB = EC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó DA + EB = DC + EC hay AD + BE = DE.

b) Vì DA, DC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại D nên OA là tia phân giác của  $\widehat{COA}$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó $\widehat{COD}=\frac{1}{2}\widehat{COA}$  (tính chất tia phân giác).

Vì EB, EC là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại E nên OE tia phân giác của $\widehat{COB}$  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

Do đó  $\widehat{COE}=\frac{1}{2}\widehat{COB}$(tính chất tia phân giác).

Gọi H, K và N lần lượt là hình chiếu của I lên MA, MA và AB.

Theo cách vẽ, ta có IH ⊥ MA, IK ⊥ MB, IN ⊥ AB nên $\widehat{IHA}=\widehat{IHM}=\widehat{IKM}=\widehat{ANI}=90°.$

Xét ∆ANI (vuông tại N) và ∆AHI (vuông tại H) có:

AI là cạnh chung; $\widehat{NAI}=\widehat{HAI}$  (do AI là phân giác của $\widehat{MAB}).$

Do đó ∆ANI = ∆AHI (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra IN = IH (hai cạnh tương ứng). (1)

Vì MA, MB là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) cắt nhau tại M với A, B là các tiếp điểm nên MO là tia phân giác của $\widehat{AMB}$  hay MI là tia phân giác của   $\widehat{HMK}.$

Xét ∆MHI (vuông tại H) và ∆MKI (vuông tại K) có:

MI là cạnh chung và $\widehat{HMI}=\widehat{KMI}$  (do MI là tia phân giác của $\widehat{HMK}).$

Do đó ∆MHI = ∆MKI (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra IH = IK (hai cạnh tương ứng). (2)

Từ (1) và (2) suy ra IN = IH = IK.

Vậy điểm I cách đều ba đường thẳng MA, MB và AB.