Giải SBT Toán 9 Cánh Diều Bài 5. Độ dài cung tròn, diện tích hình quạt tròn, diện tích hình vành khuyên

⦁ Chu vi của đường tròn bán kính R là: C = 2πR.

⦁ Độ dài của cung tròn có số đo n° trong đường tròn bán kính R là: $l=\frac{\pi Rn}{180},$  suy ra $n=\frac{180l}{\pi R}.$

⦁ Diện tích của hình tròn bán kính R là: S = πR², suy ra $R=\sqrt{\frac{S}{\pi }}.$

⦁ Diện tích của hình quạt tròn bán kính R, cung có số đo n° là $S=\frac{\pi R^{2}n}{360}=\frac{lR}{2},$  suy ra $n=\frac{360S}{\pi R^2}$  và $l=\frac{2S}{R}.$

Áp dụng các công thức trên, ta hoàn thành được bảng như sau:

a) Quãng đường Mặt Trăng quay một vòng quanh Trái Đất chính là chu vi của đường tròn bán kính khoảng 385 nghìn km, và bằng: 2π . 385 000 = 770 000π (km).

Quãng đường đi được của Mặt Trăng sau 1 ngày khoảng: $\frac{770000\pi }{27,3}\approx 89000( \text{km}).$

b) Mặt Trăng đi được quãng đường khoảng 770 000π km sau 27,3 ngày nên ta có tốc độ của Mặt Trăng khoảng:$\frac{770000\pi \cdot 1000}{27,3\cdot 24\cdot 60\cdot 60}\approx 1026( \text{m}/\text{s}).$

Do ABCD là hình thoi nên $\widehat{A}=\widehat{C}.$  Đặt $\widehat{A}=\widehat{C}=n°.$

Độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) là:$l_1=\frac{\pi \cdot 5\cdot n}{180}\left(\text{cm}\right).$

Độ dài của cung nhỏ EF của đường tròn (C) là: $l_2=\frac{\pi \cdot 3\cdot n}{180}\left(\text{cm}\right).$

Vậy tỉ số độ dài của cung nhỏ BD của đường tròn (A) và cung nhỏ EF của đường tròn (C) là $\frac{l_1}{l_2}=\frac{\pi \cdot 5\cdot n}{180}:\frac{\pi \cdot 3\cdot n}{180}=\frac{5}{3}.$

a) Ta có O, O’ lần lượt là trung điểm của AB, AE, mà AB = AE nên AO = AO’ = a.

Mà M là giao điểm của (O) và (O’) nên OM = OA và O’M = O’A.

Do đó OA = OM = O’A = O’M  = a, nên AOMO’ là hình thoi

Lại có $\widehat{OA{O}^{\text{'}}}=90°$  nên AOMO’ là hình vuông. Suy ra $\widehat{AOM}=\widehat{A{O}^{\text{'}}M}=90°.$

Do đó, độ dài cung AmM và cung AnM tương ứng của đường tròn (O) và (O’) cùng bằng $\frac{\pi a\cdot 90}{180}=\frac{\pi a}{2}.$

b)

Nối A với M. Khi đó diện tích của phần tô màu xám bằng 2 lần diện tích phần tô màu đỏ tạo bởi dây AM và cung AmM của đường tròn (O), và bằng 2 lần hiệu diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° và diện tích tam giác OAM.

Diện tích của hình quạt tròn bán kính a, cung có số đo 90° là:

$\frac{\pi a^2\cdot 90}{360}=\frac{\pi a^2}{4}$ (đơn vị diện tích).

Diện tích của tam giác OAM là: $\frac{1}{2}OA\cdot OM=\frac{a^2}{2}$  (đơn vị diện tích).

Diện tích của phần tô màu đỏ là: $\frac{\pi a^2}{4}-\frac{a^2}{2}=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}$  (đơn vị diện tích).

Vậy diện tích của phần tô màu xám là:

$2\cdot \frac{\left(\pi -2\right)a^2}{4}=\frac{\left(\pi -2\right)a^2}{2}$ (đơn vị diện tích).

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM ⊥ OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA² = OM² + AM²

Suy ra $AM=\sqrt{O{A}^2-O{M}^2}$  và $cos\widehat{AOM}=\frac{OM}{OA}=\frac{R}{2R}=\frac{1}{2}$

Do đó $AM=\sqrt{{\left(2R\right)}^2-R^2}=\sqrt{3R^2}=R\sqrt{3}$  và $\widehat{AOM}=60°.$

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung 

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra $AM=BM=\frac{AB}{2}$  và $\widehat{AOM}=\widehat{BOM}=\frac{\widehat{AOB}}{2}.$

Nên $AB=2AM=2R\sqrt{3}$  và $\widehat{AOB}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60°=120°.$

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra $\widehat{MON}=2\widehat{AOM}=2\cdot 60°=120°.$

Ta có:

⦁ S₁ = Diện tích hình quạt tròn AOB ‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra $S_1=\frac{\pi {\left(2R\right)}^2\cdot 120}{360}-\frac{1}{2}\cdot R\cdot 2R\sqrt{3}=R^2\left(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\right);$

⦁ S₂ = 2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra $S_2=2\cdot \frac{1}{2}\cdot R\cdot R\sqrt{3}-\frac{\pi R\cdot 120}{360}=R^2\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right);$

⦁ S₃ = Diện tích hình tròn (O; R) = πR².

Khi đó $S_1+S_2=R^2\left(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}\right)+R^2\left(\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)$

                       $=R^2\left(\frac{4\pi }{3}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\frac{\pi }{3}\right)=\pi R^2=S_3.$

Vậy S₁ + S₂ = S₃.

Xét tứ giác ANO’Q có: $\widehat{AN{O}^{\text{'}}}+\widehat{AQ{O}^{\text{'}}}+\widehat{N{O}^{\text{'}}Q}+\widehat{NAQ}=360°$

Suy ra $\widehat{N{O}^{\text{'}}Q}=360°-\widehat{AN{O}^{\text{'}}}-\widehat{AQ{O}^{\text{'}}}-\widehat{NAQ}=360°-90°-90°-60°=120°.$

Tương tự, trong tứ giác AMOP ta cũng có $\widehat{MOP}=120°.$

Khi đó số đo của cung nhỏ NQ trong (O’) bằng 120° và số đo của cung lớn MP trong (O) bằng 360° – 120° = 240°.

Độ dài cung nhỏ NQ là: $l_1=\frac{\pi a\cdot 120}{180}=\frac{2\pi a}{3}.$

Độ dài cung lớn MP là: $l_2=\frac{\pi \cdot 4a\cdot 240}{180}=\frac{16\pi a}{3}.$

Do AM, AP là hai tiếp tuyến của (O) nên AM = AP và AO là tia phân giác của MAP.

Nên $\widehat{OAM}=\frac{1}{2}\widehat{MAP}=\frac{1}{2}\cdot 60°=30°.$

Xét ∆OAM vuông tại M có $AM=OM\cdot \cot \widehat{OAM}.$

Do AN, AQ là hai tiếp tuyến của (O’) nên AN = AQ và AO’ là tia phân giác của MAP.

Khi đó AO và AO’ trùng nhau.

Xét ∆O’AN vuông tại N có $AN=O^{\text{'}}N\cdot \cot \widehat{O^{\text{'}}AN}=O^{\text{'}}N\cdot \cot \widehat{OAM}.$

Ta có: $MN=PQ=AM-AN=OM\cdot \cot \widehat{OAM}-O^{\text{'}}N\cdot \cot \widehat{OAM}$

                 $=\left(OM-O^{\text{'}}N\right)\cdot \cot \widehat{OAM}=\left(4a-a\right)\cdot \cot 30°=3a\sqrt{3}.$

Độ dài của dây Curoa mắc qua hai ròng rọc là:

 $\frac{2\pi a}{3}+\frac{16\pi a}{3}+2\cdot 3a\sqrt{3}=6a\left(\pi +\sqrt{3}\right).$