Câu hỏi:

01/08/2024 1,095

Cho hai đường tròn (O; R) và (O; 2R). Một dây cung AB của đường tròn (O; 2R) tiếp xúc với đường tròn (O; R) tại M. Kẻ tiếp tuyến thứ hai AN của đường tròn (O; R). Gọi S1 là diện tích của hình tạo bởi cung ACB và dây AB của đường tròn (O; 2 R), S2 là diện tích của hình tạo bởi hai tiếp tuyến AM, AN và cung nhỏ MN của đường tròn (O; R) và S3 là diện tích của hình tròn (O; R) (Hình 45). Chứng minh S1 + S2 = S3.

Media VietJack

Quảng cáo

Trả lời:

verified
Giải bởi Vietjack

Do AM là tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên AM OM tại M.

Xét tam giác OAM vuông tại M, theo định lí Pythagore, ta có:

OA2 = OM2 + AM2

Suy ra AM=OA2OM2  và cosAOM^=OMOA=R2R=12

Do đó AM=2R2R2=3R2=R3  và AOM^=60°.

Xét ∆OAM (vuông tại M) và ∆OBM (vuông tại M) có:

OA = OB, cạnh OM chung 

Do đó ∆OAM = ∆OBM (cạnh huyền – cạnh góc vuông).

Suy ra AM=BM=AB2  và AOM^=BOM^=AOB^2.

Nên AB=2AM=2R3  và AOB^=2AOM^=260°=120°.

Do AM, AN là hai tiếp tuyến của đường tròn (O; R) nên OA là tia phân giác của góc MON, suy ra MON^=2AOM^=260°=120°.

Ta có:

S1 = Diện tích hình quạt tròn AOB ‒ Diện tích tam giác OAB

Suy ra S1=π2R212036012R2R3=R24π33;

S2 = 2. Diện tích tam giác OAM ‒ Diện tích hình quạt tròn MON

Suy ra S2=212RR3πR120360=R23π3;

S3 = Diện tích hình tròn (O; R) = πR2.

Khi đó S1+ S2=R24π33+R23π3

                       =R24π33+3π3=πR2=S3.

Vậy S1 + S2 = S3.

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Lời giải

Diện tích mặt cắt của hai phần chi tiết có dạng hình chữ nhật là:

2 . (15 . 5) = 150 (cm2)

Diện tích của phần chi tiết có dạng nửa hình vành khuyên là: 12π152102=1252π  (cm2).

Diện tích mặt cắt của chi tiết máy ép nhựa đó là: 150+1252π346,35 cm2.